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 termes. Je suis parvenu à le rendre applicable dans tous les cas, grâce au 

 théorème suivant, qui ne me paraît pas avoir encore élé énoncé : 



» Soit donné un système composé d'autant déformes binaires indépendantes 

 et de tel ordre quon voudra de tous leurs invariants et covariants. Soit 



(3) V = Ax"^nBx"-'r-^— — - Cx' 



M— 2 ,,2 



une quelconque des formes du sptème. Si l'on effectue la substitution 



(4) a^=X-BY, j = kY, 



tous les coefficients, dans toutes les formes du système, deviendront des pénin- 

 variants. 



» Le fait est évident pour U, qui prend la forme (i); car, la substitu- 

 tion (4) n'allérant nulle part le coefficient de la plus haute puissance de x, 

 u de la formule (i) est identique à A, qui était source de U et, par suite, 

 péninvariant ; h, h', . . . sont les sources de covariants de U, par conséquent 

 déformes du système considéré: ce sont donc des péninvarianis; donc il 

 en est de même de iih, uk, . . . , c'est-à^ij^ire de tous les coefficients de U 

 après la substitution. 



» Il reste à prouver qu'il en est encore de même pour une autre forme 

 quelconque V du système. Soit 



(5) V = ^'X^' ^ ^', X''-' Y -k- t'aX''-^ Y^ + . . . 



ce qu'est devenu V par la substitution (4). t» est tout d'abord un péninva- 

 riant, comme étant la source de V avant la substitution; puis formons le 



jacobien W de U et V, en calculant -r-, —, —, — au moyen de (i) et 

 de (5). Il viendra 



W = (pX"+^-- + w, X" "/'-=' Y + ^2 X""/'-'' Y= + . . . 



avec les valeurs suivantes des coefficients ; 



1 n< — jn\ , 



(6) ! ^'^'' "= "[^''- ~ P^"' ~ ')''"']' 



» La première de ces relations montre que v^ est égal à w, à un facteur 

 numérique près. Mais iv est un péninvariant, comme source de W avant 



