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la substitution: i^, est donc un péninvariant. Or V était une forme quel- 

 conque du système : il est donc démontré que le secon^/ coefficient de toute 

 forme du système est devenu un péninvariant. Dès lors il en est ainsi de w,, 

 et par suite de i>2, en vertu de la seconde des relations (6); par conséquent 

 du /ro/s/è/ne coefficient de toute forme du système, donc de xv., et ainsi de 

 suite. Le raisonnement pouvant être poursuivi indéfiniment, le théorème 

 se trouve démontré dans toute sa généralité. 



» Ce théorème présente une importance capitale dans la théorie des 

 formes binaires, au point de vue où je me suis placé : il permet d'effectuer 

 les opérations ordinaires servant à former et à définir des invariants et co- 

 variants, sur des formes successives dont tous les coefficients sont déjà des 

 péninvariants, en sorte que la définition même de chaque forme nouvelle 

 permet d'écrire la syzygie qui la relie aux formes déjà connues. De plus, 

 toute syzygie peut être considérée comme exprimant qu'un certain cova- 

 rianl composé, d'ordre /? par exemple, est identiquement nul : dès lors, le 

 second, le troisième, ...,\e(p-h 1)'"^" coefficient de ce covariant sont aussi 

 identiquement nuls : de la syzygie donnée, on peut donc déduire p autres 

 syzygies. Enfin la forme-base U, c'est-à-dire celle dont on fait disparaître 

 le second terme, pouvant être choisie à volonté, on peut obtenir autant de 

 représentations typiques différentes qu'on voudra pour les formes d'un 

 même système. 



» Il est d'ailleurs aisé de vérifier que, si V est une forme quelconque 

 d'ordre m, appartenant au même système que la forme-base U, et si J, J', 

 J", ... est la série des covariants simultanés, linéaires par rapport aux 

 coefficients de U et V, et d'ordres successifs m -\- n ~ a, m -h n — 4, 

 in -h n — 6, ... (dont le premier est le jacobien ), la substitution ( 4) donne 

 à V la forme suivante 



^ V =: vX'" + mjX'" 'Y + "'^"'~'\ uj' - /ti>)X'"--Y- 



(7) 



ml m — 1 ) ( m — a ) 



m{m — I ) ( OT — 2 ) ( "i — 3 i 



«V"-t- h> — 3jk)X'"-''Y' 



\ 



[^l ^y^ ' («T - 'rh'i^- 6nhj' + 4/Vt + 9//-(')X"'-" Y^ 



laquelle se réduit bien à la forme (i) si V = U, et d'où l'on tire facilement 

 la théorie générale de tous les systèmes formés de plusieurs formes binaires 

 simultanées, en la discutant pour chaque valeur particulière de n et de m. 



