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 compagui. Co numéro est consacré à deux Traités inédits d'abacns, du 

 xu" siècle, publiés d'après les manuscrits 2ia3 et 5327 de la Bibliothèque 

 du Vatican, avec une introluction de M. Narducci. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — 5»/' la représentation spfiérique des surfaces. 



Note de M. G. Darbocx. 



« Dans une série de Communications, je me suis occupé du problème 

 de Géométrie inBnitésimale qui a pour objet la détermination de toutes les 

 surfaces ayant une représentation sphérique donnée. L'année dernière, je 

 me suis contenté de traiter le cas où les images sphériques des lignes de 

 courbure forment un système orthogonal et isotherme, parce que l'élude de 

 cette hypothèse particulière conduit à des problèmes d'Analyse du plus 

 grand intérêt. Mais la méthode que j'ai suivie est applicable aux systèmes 

 orthogonaux les plus généraux, et je vais montrer comment elle conduit à 

 la solution complète du problème de la représentation sphérique, toutes 

 les fois que cette solution peut être obtenue en termes finis. 



» Considérons une surface quelconque [1) comme l'enveloppe d'un 

 plan défini par l'équation 



(i) [x +j-jX-t-(i — xy)Y -h i{i +xy)Z — V = 0, 



oùX, Y, Z désignent les coordonnées courantes, x,y deux variables in- 

 dépendantes pouvant prendre toutes les valeurs possibles, et P une fonc- 

 tion quelconque de ces variables. L'équation de la surface s'obtiendrait en 

 éliminant x, j' entre l'équation (i), et celles qu'on lui adjoint en prenant 

 les dérivées successivement par rapport à x et à j. Il est aisé, du reste, de 

 donner la signification géométrique des variables x et y. Ce sont les coor- 

 données imaginaires symétriques du point où une sphère de rayon i est 

 rencontrée par la parallèle, menée par son centre, à la normale de la sur- 

 face (2). 



» Ces variables ont déjà été employées par M. O. Bonnet, dans son beau 

 Mémoire Sur l'emploi d'un nouveau sjslème de variables dans l'élude des pro- 

 priétés des surfaces courbes, et nous devons à M. Bonnet ce résultat élégant, 

 que l'équation différentielle des lignes de courbure de la surface (2) prend 

 la forme 



( 2 ) dp dx — dqdy = o, 



