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 où p et q désignent, suivant l'usage, les dérivées partielles de P par rapport 

 à .T et à j". 



» Si nous désignons de même par /•, s, t les dérivées secondes de P, l'é- 

 quation (2) petit aussi s'écrire 



rdx- — tdy- = o. 



» Par suite, si a, /3 désignent les paramètres des lignes de courbure, on 

 aura 



,^, d.r ^ Or ôjc .dr 



1 étant égal à la racine carrée de -• 



» Comparant les équations (3) à l'équation (a), on voit que l'on aura 

 aussi 



n II est d'ailleurs aisé de reconnaître que, toutes les fois que les équa- 

 tions (3) et (4) seront satisfaites, il en sera de même de l'équation 



dp ôx dp d.r Ocj dy dq dy 



qui exprime que/? et q sont les dérivées partielles d'une même fonction. 



» Cela posé, supposons qu'il s'agisse de trouver les surfaces ayant une 

 représentation sphérique donnée. Alors x et y devront être considérées 

 comme des fondions données de a et de p. IjCs équations (3) seront com- 

 patibles et nous feront connaître la valeur de X. Pour trouver la surface, 

 c'est-à-dire pour déterminer P, il suffira de résoudre les équations (4) et, 

 les valeurs de p, q une fois obtenues, on en déduira P par une quadra- 

 ture. 



» Or l'intégration du système (4) se ramène aisément à celle de l'équa- 

 tion 



à'Z _ z à-'{^i) 



^^^ doc dp ^ ^î dadp ' 



et, si Z est une solution de cette équation, on aura 



z 



et q s'obtiendra par une quadrature. 



