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 essentiel. Dans le cas où le point M/, serait à l'infini, il faudrait, dans les 

 définitions précédentes, remplacer la fonction (2) par 



(3) 4, = V,-i-V,-i-. .-i-V,+ ..-;-V„. 



M Dans ce qui suit, nous supposerons que la fonction F existe dans tout 

 l'espace, c'est-à-dire que la surface fermée, désignée par S, s'étende à l'in- 

 fini. Alors, 1° une fonction F qui n'a d'autres points singuliers que des 

 pôles est égale à une somme de fonctions telles que (2), d'une fonction (3) 

 et d'une constante; 2'" une fonction F qui possède n points singuliers 

 Mk{k=i, 2, ..., n) est représentée par une série de la forme 



v = /, = ! -, = 



» On peut étendre à ces fonctions F existant dans tout l'espace le théo- 

 rème de M. Mittag-Leffler; mais je laisse de côté cette généralisation facile 

 pour examiner les fonctions les plus simples qui se présentent après celles 

 qui n'ont que des pôles. Ce sont les fonctions qui n'ont à distance finie 

 d'autres points singuliers que des pôles, et qui reprennent les mêmes va- 

 leurs aux points homologues d'un réseau de parallélépipèdes. Ces fonctions 

 sont analogues à la partie réelle d'une fonction méromorphe doublement 

 périodique d'une variable imaginaire; elles sont déterminées quand on 

 connaît leurs pôles dans un parallélépipède élémentaire et les fonctions (2) 

 correspondantes. Cette dernière propriété résulte de ce qu'une pareille 

 fonction qui resterait finie dans un parallélépipède élémentaire resterait 

 finie dans tout l'espace, et, par suite, serait une constante d'après un théo- 

 rème démontré par M. Picard [Comptes rendus, t. XC, p. 601). Supposons 

 que les parallélépipèdes élémentaires soient des cubes dont les arêtes sont 

 parallèles aux axes coordonnés et ont pour longueur l'unité; dans ce cas, 

 les fonctions considérées doivent vérifier l'équation 



Y[x->rm, y + n, c + p) =; F(a;,/, z), 



;», 7i, p étant des entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls. Pour former 

 l'expression générale d'une pareille fonction, posons 



p = + \jm- -\- n- -^ p-, r= + \/.r- +j" + s-, rp cos,ù = mx + ny -\- pz, 

 R = + sj[3c — mf + [y — nf + (s — p)- = 4- sir'- — 2rp cosO -+- p-, 



et désignons par e un nombre positif moindre que l'unité. Pour toutes les 



