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 positions du point M{jc,j,z), telles que-^s, la fonction - est dévelop- 

 pable en une série convergente de la forme 



où P^ est un polynôme de Legendre. Comme Pv(cos(5) est compris entre 

 — 1 et 4- I, la différence 



/(x, j, z; m,n,p) = i - ^ - ^ P,(cosC) - p,(cos0) 



est, en valeur absolue, moindre que ^ ——• Mai^, d'après un théorème 

 d'Eisenstein (') {Journalde Crellcj t. 35, p. i55), la série \ -^ est conver- 

 gente, le signe 2' indiquant que la sommation est étendue à toutes les va- 

 leurs entières positives, négatives ou nulles de m, n, /), la combinaison 

 m =^ n = p = o étant exceptée. Donc la série 



Z{x,/,z)= '--^^/{x,r, = \m,Ji,p) 



est absolument convergente; cette série définit une fonction satisfaisant à 

 l'équation AZ = o et aux relations 



Z{x-hi,y,z)-lœ = Z{x,j-hi,z)~\)r 

 = Z{jc, j;z-\-i)--kz- Z{x, j, z) -f- [x, 



1 et p. désignant des constantes. Soit alors 



(5) ¥{x,y, z) = â -{- ax + (ij + yz -4- \ AaZ(x — a/,, y — bk,z — Ck), 

 les constantes a, |3, 7, A/, vérifiant les relations 



k = n f, = n k = n k - n 



(6) \A/(=o, a. — kSAkak, [i = \\kkbk, 7 = >AAaCa; 



A = I A = 1 



celte fonction F est la fonction la plus générale possédant les pro|)riétés 

 demandées et ayant des pôles du premier degré aux points [uk, hk,Ck). Si 



(') SI. Jordan a donné une démonstration très simple de ce théorème dans le ^«//e/i'/j 

 de la Sociétc matltéinatiquc, t. IX, p. u3. 



