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Coiiséqiienimenr, en appliquant le théorème précédent, on aura 



OÙ Sj^_, est la somme des totients des nombres qui sont en même temps 



éganx ou inférieurs à —^ — et plus grands que E — , c'est-à-dire 

 "7 — ' 27 



>' Si donc on écrit 

 on aura, quand x = un nombre entier pair (soit 2/), 



et, qunud x ~ un nombre entier impair (soit 2/4- i), 



Sx={i^i){2i + i) - (r 4-/)= '■"'^'^' 



4 



» Avec l'aide de ces égalités, si x est un nombre positif quelconque en- 

 tier ou fractionnel, on obtient facilement les inégalités 



& .r = ou > — ; 



4 



5^ = OU •< -, 



4 



» En appliquant à ces deux inégalités la méthode d'approximation suc- 

 cessive que j'ai appliquée, dans le Mémoire cité, aux inégalités auxquelles est 

 assujettie la fonction <\>{:t) [voir ShnVA.T , ALjèbre supérieure, édition de i>S7C), 

 t. II, p. 233)', je parviens facilement et rigoureusement à démontrer 

 que, étant donnée une quantité s aussi petite qu'on veut, on peut trouver 

 une limite supérieure L et une limite inférieure A à J.r, où 



\^ — { —, -\- ■/)] X- — h X -f- R ( log .r ) 



A == ( ^ - •/}') a:'' - \'x 1- R' ( logx), 

 où R(log27), R'(log.r) sont tous les deux foiu lions rationui Tes et en-- 



C. R., if.SJ, 1 ' Semés:, e. (T. XCM, N» ï.) 63 



