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et cette étude peut, d'ailleurs, conduire à des résultats très importants se 

 rapportant à l'équation proposée elle-même. Supposons, par exemple, que 

 cette dernière équation admette une intégrale dans laquelle figurent des 

 fonctions arbitraires avec leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé. Il 

 devra en être de même pour l'équation auxiliaire en z , quand on y rem- 

 placeras par une solution quelconque de l'équation donnée. Si donc il existe 

 des solutions z de la proposée pour lesquelles l'équation auxiliaire n'ad- 

 met pas d'intégrale de cette nature, il en sera de même pour l'équation 

 proposée. 



» Sans entrer dans de plus grands détails sur l'emploi de l'équation 

 auxiliaire, je considérerai aujourd'hui deux problèmes de Géométrie aux- 

 quels j'ai appliqué la méthode que je viens d'exposer. 

 • » Considérons une surface (2) et cherchons toutes les surfaces infini- 

 ment voisines qui formeraient avec (2) une famille d'un système triple 

 orthogonal. On peut démontrer très facilement que ce problème, déjà 

 étudié par M. Cayley, équivaut à l'un quelconque des deux suivants : 



» Trouver les surfaces admettant la même représentation sphérique que la 

 surface (2). 



■' Ou bien : 



» Trouver tous les systèmes de cercles normaux à une famille de surfaces 

 dont fait partie la surface (2). 



M II résulte immédiatement de ce rapprochement que, si l'on sait résoudre 

 le problème de la représentation sphérique pour une surface (2), on saura 

 le résoudre aussi pour les surfaces inverses ou transformées par rayons 

 vecteurs réciproques de (2). 



» Cette proposition nous permet, toutes les fois que le problème de la 

 représentation sphérique sera résolu par une surface particulière, d'obtenir 

 par de simples quadratures la solution de ce même problème pour une 

 suite illimitée de surfaces nouvelles se déduisant les unes des autres et 

 contenant dans leur équation un nombre de plus en plus grand de fonc- 

 tions arbitraires. Ces résultats sont d'accord avec ceux que j'ai fait con- 

 naître dans une récente Communication. 



» Considérons maintenant un autre problème : La recherche des surfaces 

 applicables sur une surface donnée. On sait toute la difficulté de cette ques- 

 tion, qui n'a encore été complètement résolue que pour les surfaces déve- 

 loppables et deux surfaces de révolution. Conformément aux idées précé- 

 dentes, nous commencerons par rechercher les surfaces a|)plicnbles sur 

 une surface (2) et infiniment voisines de (2). 



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