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 » Si l'on désigne par 5jc, ^j, oz les accroissements que prennent jc, j, z 

 quand on passe de la surface {!) au jioint correspondant de la surface 

 infiniment voisine, on trouvera, en exprimant que l'arc d'une courbe ne 

 change pas de longueur, l'équation 



dx d^x -\- dy dây 4- dz d^z -- o. 



Si donc X,, j,, z, désignent des quantités finies proportionnelles à èx, o;-, 



§3, on aura 



dxdx, -+ djd)', + dzdz, = o. 



Cette équation exprime que la surface (2) et la surface (i,) lieu du 

 poitU (o;,, j,, z,) se correspondent point par point, de manière que les élé- 

 ments correspondants soient perpendiculaires. Nous retombons ainsi sur 

 le problème de la transformation par orthogonalité des éléments, posé par 

 M. Moutard, problème qui acquiert par là un nouveau degré d'intérêt ('). 



» Le problème de Géométrie, posé par M. Moutard, se ramène presque 

 immédiatement, comme l'a indiqué ce savant géomètre, à la question 

 d'Analyse dont il a donné la solution complète dans un Mémoire présenté 

 à l'Académie et publié par extrait dans le XLV^ Cahier du Journal de 

 l'Ecole Polylechnique. 



» Les surfaces pour lesquelles on sait le résoudre se partagent en diffé- 

 rentes classes. Pour chacune d'elles on connaît les expressions de x,y, z en 

 fonction des paramètres a, /3 des lignes asymptotiques. Ces expressions 

 contiennent au moins quatre fonctions arbitr;iires. Cela posé, si l'on veut 

 trouver toutes les surfaces applicables sur une surface donnée et ne conte- 

 nant dans leur équation que des fonctions arbitraires avec leurs dérivées 

 jusqu'à un ordre déterminé, ces surfaces devront toutes faire partie de 

 l'une des classes que nous venons de définir. 



» Les surfaces de la première classe sont définies par les équations 

 suivantes : 



x== A.Ba- A,B, + fh.dk, - A,dA.~ ( B^dB, - B, r/B„ 

 / = AjB -ABo + Ta^/Ao Ao<'/A — fBcfBo — B^r/B, 

 z =AB, — BA, 4- Ta.^A -A^A, - Tb, r/B -BdB., 



(') Ce rapprochement entre deux questions si différentes est extrêmement utile, comme 

 je le monlrerai, dans la recherche de toutes les siu'l'aces applicables sur une surface donnée ; 



