( 7^b ) 

 où A, A,, Aj sont des fonctions d'un même paramètre a; B, B,, B, des 

 fonctions d'un autre paramètre jS. 



Si l'on suppose que ces fonctions soient liées par les relations 



A'--^ A^ -t- A^ = £, 

 B= + B; + B= = E, 



on aura toutes les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution 

 si 6 =:= I, et sur les développées des surfaces minima si s :^ o. 



» Ces surfaces jouissent de nombreuses propriétés géométriques, sur 

 lesquelles je n'insiste pas en ce moment. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'application des inlégrales elliptiques et ultra- 

 elliptiques à la théorie des courb<s unicursoles. Note de M. Laguerre, pré- 

 sentée par M. Hermile. 



« 1. Eu désignant par t un paramètre variable, considérons une courbe 

 iinicursale dont la tangente soit déterminée par l'équation 



où/{t), (f{t) et Q{t) désignent des polynômes entiers. J^'expression de la 

 distance d'un point quelconque du plan à cette tangente renferme le radi- 

 cal v'/'(Z) + y^(/), que j'écrirai sous la forme F{t)\jF{t), en mettant en 

 évidence la partie rationnelle. Si F{t) est une constante, la distance d'un 

 point du plan à la tangente est déterminée en grandeur et en signe; alors 

 la courbe est de l'espèce de celles que j'ai étudiées sous le nom de courbes 

 de direction. Dans le cas contraire, la courbe doit être considérée comme 

 double, en sorte qu'en chaque poirit on peut mener deux tangentes qui 

 sont des semi-droites opposées. 



M Une tangente étant donnée (en position et en direction), il lui corres- 

 pond non seulement une valeur du paramètre t, mais encore une valeur 

 déterminée du radical \/F[t). Si la courbe est une ellipse ou une hyper- 

 bole, F[t) est du quatrième degré; en considérant ces coniques comme 

 enveloppes de semi-droites, on doit donc dire qu'elles sont du genre un, 



je l'ai indiqué dans une Communication faite le 17 décembre 1878 à la Société mathéma- 

 tique. Depuis MM. Lecornu et Beltrami ont publié de belles recherches sur la déformation 

 infiniment petite des surfaces, mais en se plaçant surtout au point de vue mécanique. 



