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 - T, on voit que T ne rencontre le lieu qu'aux points aet|3; d'où il suit 

 que le lieu est une conique. D'ailleurs, si T est isotrope, comme elle se con- 

 fond avec son opposée, les points a et ^ sont confondus : donc cette droite 

 touche le lieu qui est ainsi une conique ayant les mêmes foyers que H. 

 Cette conique passe d'ailleurs par le point de rencontre des tangentes fixes 

 A et B et elle est entièrement déterminée par la condition que la bissec- 

 trice (') de A et de B lui est tangente. 



» On retrouve ainsi une proposition donnée déjà par Chasles, mais avec 

 moins de |)récision ; les signes des radicaux qui entrent dans la relation (i) 

 sont, comme on le voit, parfaitement déterminés par les directions des tan- 

 gentes considérées. 



» 2. Il résulte de ce qui précède que, si l'on détermine chaque tangente 

 à la conique H par l'argument d'une fonction elliptique, la condition né- 

 cessaire et suffisante pour que quatre tangentes touchent un même cycle 

 est que la somme des arguments soit congrue à zéro, suivant les deux 

 périodes de la fonction. Connue un liypercycle cubique est déterminé 

 par cinq tangentes, on peut énoncer également cette proposition : Pour 

 que six tangentes à H touchent un même lifpercycle cubique, il faut et il suffit 

 que la somme de leurs arguments soit nulle. 



11 En particulier, le problème de construire un cycle osculateur d'une 

 conique (-) qui touche une tangente donnée se ramène à la résolution de 

 l'équation sinam 'ix ^ sinama. 



» 3. Des considérations entièrement analogues s'appliquent aux inté- 

 grales ultra-elliptiques. On peut aussi étudier des courbes non-unicursales 

 et déterminer leur genre quand on les considère comme enveloppes de 

 semi-droites; dans l'espace, les courbes gauclies donnent lieu à une étude 



(') Je rappelle que je nomme bissectrice de deux serai-droites la droite parfaitement 

 déterminée qui est le lieu des centres des cycles qui touchent ces semi-droites. 



(^) Dans le cas de la parabole, le polynôme F(?) est du second degré : cette courbe est 

 donc du genre zéro et l'on ne peut plus mener que trois cycles osculateurs qui touchent une 

 tangente donnée. Cette tangente et les tangentes menées aux points d'osculation touchent 

 un même cycle, proposition analogue à la suivante, due à Steiner -.Il y a trois cercles oscu- 

 lateurs à une conique, qui passent par un point de cette courbe; ce point et les trois points 

 d'osculation sont sur un même cercle. 



Étant donnée une parabole, on peut du reste, à chaque tangente menée à cette courbe, 

 faire correspondre un point d'une hyperbole, de telle sorte que, quand quatre tangentes à 

 la parabole touchent un même cycle, les quatre points correspondants de l'hyperbole sont 

 sur un même cercle. 



