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 et à des propositions semblables et, bien que cette extension se présente 

 (i'elle-nième très aisément, je reviendrai sur ce sujet, si l'Académie veut 

 bien nie le permettre. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Dëinoiislrnlion d'un théorème fondamental de la 

 théorie des équations algébriques. Note de M. Walecki, présentée par 

 M. Hermite. 



« Le théorème que je veux démontrer est le suivant : Toute équation al- 

 gébrique a une racine, et je traiterai d'abord le cas où le degré de l'équation 

 est un nombre impair. 



)) Le théorème est évident si les coefficients sont réels; en les supposant 

 imaginaires, soient P + /Q son premier membre et /{oc) — P" -r Q' : il est 

 clair qu'il suffit de prouver que l'équation, de degré 2/7, J {x) =: o a au 

 moins une racine. 



^) A cet efiet, je pose a: = ^ -f- z et, en distinguant, dans le développe- 

 ment àe J [y + z),\a partie paire en z et la partie impaire, 



» Le résultant des polynômes «p et tj; est un polynôme réel et de degré 

 impair par rapport à j, car son terme du plus haut degré est du degré 

 p[-?.p — \) et le coefficient de ce terme est le résultant de (x + i)'"etde 

 [x — i)"", lequel est essentiellement différent de zéro. Ce résultant s'annule 

 donc pour une valeur réelle de j\ 



» Deux circonstances peuvent alors se présenter. L'un des polynômes o 

 et <|; peut être ideritiquement nul, et ce sera ^, car le coefficient du terme de 

 degré le plus élevé dans o est différent de zéro; alors, o étant du degré im- 

 pair p, f{x) admet un diviseur réel du second degré. Si i n'est pas iden- 

 tiquement nul, o et di ont un diviseur commun et f{x) est décomposable 

 en le produit de deux facteurs. Au cas où l'un des facteurs est de degré im- 

 pair, il admet un diviseur réel du premier degré qui divise f{x); sinon 

 l'un au moins des facteurs /{x) est de degré 2/)', p' étant un nombre im- 

 pair inférieur k p. On opérera sur /,{x) comme sur J [x) et l'on prouvera 

 qu'il a un facteur réel du premier ou du second degré, ou im facteur réel 

 /o(jr) de degré 2p" , p" étant un nombre impair inférieur k p' . 



» Ce dernier cas ne pourra pas, du reste, se présenter indéfiniment en 

 continuant la série des opérations, car on serait ainsi conduit à former une 

 suite illimitée de polynômes dont les degrés iraient en décroissant. 



