( 826 ) 

 » En reiiiarqiianl que M dt = — dz, l'équation (4) devient 



et fera connaître V en fonction de:;, en exprimant que, au point de départ 

 de la bulle correspondant à z = Zg, on a V = o. La bulle, tout en se dé- 

 formant, sera donc animée d'un mouvement de translation vertical qui est 

 le même que si elle restait sphérique. 



» On a, pour l'intégrale générale de l'équation (5) et en désignant par 

 A et B deux constantes arbitraires ('), 



/ I + tang ^\ ^ 

 w = Bsiu$-\-Al — i4-sin51og j+ y KV^sinô logcosS 



+ -?— sui&l — sinS + iog 



\ i-»ang-^ 



mais 



I + tang - sin-+cos- , , ,, 



log = log -^ -, — 2 log sm - -f- cos - ) — log cos9 : 



%_tangi ^''^^ ^ ^ .) ^ ■ 



par suite, 



5 



cos- 



(6) u' = Bsinô — A 4- 2 (a H — ^ J sinô log( sin - + 



— A sin (5 log cos 5 -^sin^ô. 



» Pour que w ne devienne pas infini pour 5 = 90°, il faut que A = o ; 



' 1 



Si l'on considère en général l'équation 



d}w , dw 



_2tangO— +2a. + t(6] = o, 



son intégrale est 



6' 

 I -4- tang ■ 



«'==Bsin9+A( — i + sin9]og ; \ — sin 9 / . ,'.'" — : | F( 9) sin9 cosS(/9. 



I — Itanu 



I — sin 9 / -r-r^^ / F( 9) sin9 cos8( 



' J sin- 9 cos 9 J * ' 



On arrive facilement à ce résultat en posant 11'=: Vsin9, ce qui conduit à une équation 



,. . • , . , , , . • f^V 



linéaire ilu ijreniier ordre dont la fonction est —r-» 



' (/9 



