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on de deux termes, selon que 2a et ^(ou 26 et ^7) sont ou ne sont pas pre- 

 miers entre eux, et ces termes sont connus a priori. 



» Si l'on veut obtenir de proche en procite leurs réduites successives, on 

 arrive plus vite au but, parce qu'elles sont moins nombreuses pour un 

 même degré d'approximation. 



» Si l'on veut obtenir d'un seul coup la réduite qui occupe le rang n dans 

 la suite qu'elles forment, la formule de Lagrange 



(P„-Q„v/Â) = (P.,-Q„v'Âr' 



la procure, eu y prenant Pq— a, Q^^ s , c'est-à-dire les deux éléments de la 



première et de la plus simple de toutes les réduites. De plus, cette formule 



donne toujours des réduites faisant partie de la mémesuite, quelle que soit 



p 

 celle qu'on choisit comme réduite initiale -^: ce qui n'a pas lieu pour les 



réduites du système ordinaire. 



» Les fractions continues dont il s'agit pouvant s'écrire ainsi : 



x = a+ -, — ; ■ et x ~h — 



ia ' 

 1 



m 



2fl\ I 



(il ia 



ib 





elles donnent, sous cette forme, la clef de plusieurs des résultats que j'ai 

 énoncés dans mes précédentes Communications. 



» On y voit, par exemple, immédiatement, que si d divise exactement 

 ia, ces fractions continues et leurs périodes binaires sont les mêmes que 

 celles de Lagrange. Ces cas de coïncidence ne sont pas les seuls. En effet : 



» Théorème. — Loi^sque le nombre fractionnaire irréductible - ^ -J- a pour 



dénominateur le nombre 2, toutes les réduites, auxquelles donnent lieu tes frac- 

 tions ci-dessuSj se présentent aussi dans la suite formée par celles de Lagrange, 

 et elles y occupent des rangs déterminés, entre lesquels se trouvent intercalées des 

 réduites de cette dernière suite, qui ne savent pas pour le calcul des valeurs 

 approchées de a\ 



» Par exemple, dans la famille 



E=: an -f- 4"i 



les périodes sont invariablement de dix termes, connus a nriori, si « est 



