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 de penser que les théorèmes obtenus par cet illustre géomètre s'étaient 

 offeris à lui comme conséquences dernières d'une longue série de recher- 

 ches, où devaient se trouver combinées les notions iïordie et de genre, éta- 

 blies par Gauss pour les formes binaires et transportées par Eisenstein 

 dans le domaine des formes ternaires, celle de la densité, qu'il avait intro- 

 duite pour la première fois, enfin les méthodes infinitésimales de Dirichlet. 

 L'Académie était donc fondée à espérer que ce voyage de découvertes 

 imposé aux concurrents à travers une des régions les plus intéressantes et 

 les moins explorées de l'Arithmétique produirait des résultats féconds pour 

 la Science. Cette attente n'a pas été trompée. 



Trois Mémoires ont été transmis au Concours; ils portent les épigraphes 

 suivantes : 



N" 1. — Qaot quibusqiie modis possinl in quinque resolvi qundralos nu- 

 lueri, pagina nostra docet. 



IN*^ 2. — Félix qui potuil renim cognoscere causas ! 



N° 3. — Rien n'est beau que le vrai,- le vrai seul est aimable. 



Le Mémoire n" 2 montre chez son auteur des connaissances étendues et 

 renferme plusieurs résultats intéressants; mais la question posée par l'Aca- 

 démie ne s'y trouve même pas abordée. La Commission a donc principale- 

 ment concentré son étude sur les deux autres Mémoires. Tous deux sont 

 des oeuvres considérables, où se trouvent exposés d'une manière magistrale 

 plusieurs des points fondamentaux de la théorie des formes quadratiques. 

 Les formules relatives à la décomposition en cinq carrés n'y figurent que 

 comme conséquences très particulières des principes généraux. 



Il est d'ailleurs aisé de discerner dans ces deux Mémoires, à travers les 

 différences d'exposition, une singulière identité dans la filiation des idées, 

 au point qu'il serait difficile de signaler dans l'un d'eux une notion ou 

 un théorème important qu'on ne retrouvât pas dans l'autre, et que, pour 

 éviter les redites et faire mieux ressortir les nuances qui les séparent, nous 

 devrons les analyser simultanément. 



L'auteur du Mémoire u" 1 montre tout d'abord qu'à u'ie forme quadra- 

 tique quelconque ou peut associer une^série de formes adjointes (') ; la valeur 

 numérique du plus grand commun diviseur des coefficients de ces diverses 

 formes et leur ordre de parité servent de base à une distribution en ordres 

 des formes de même déterminant. 



(') Ces formes avaient déjà été considérées par M. Darboux dans le Journal de Liou- 



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