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L'auteur du Mémoire n° 3 ne p.irle pas de ces formes adjointes, si ce 

 n'est de la première, que Gauss avait déjà définie; mais il considère la série 

 de leurs coefficients, ce qui lui donne un résultat identique au précédent. 



La marche suivie dans les deux Mémoires est d'ailleurs la même et con- 

 siste à transformer la forme proposée en une autre équivalente, telle que 

 son résidu par rapport à un module donné soit ramené à une expression 

 canonique. 



Cette expression canonique contient encore des coefficients indéterminés 

 . dont la valeur dépendra de la manière de conduire les calculs; mais de 

 quelque façon que l'on opère, en partant d'inie forme donnée, certaines 

 combinaisons de ces coefficients conserveront toujours un caractère qua- 

 dratique déterminé par rapport aux nombres premiers qui divisent le déter- 

 minant et par rapport aux nombres 4 6l 8. L'ensemble de ces caractères, 

 invariables pour toutes les formes d'une même classe, définira le genre. 



Ainsi que Gauss l'avait déjà signalé pour les formes binaires, en insistant 

 tout particulièrement sur ces circonstances, qui sont pour l'Arithmétique 

 du plus haut intérêt, toutes les combinaisons de caractères ne sont pas ad- 

 missibles. Les deux auteurs indiquent d'une façon précise les conditions 

 que doit remplir une semblable combinaison pourcorrespondreà un genre 

 réellement existant. 



Ils passent ensuite à la recherche du nombre des solutions des con- 

 gruences du second degré à plusieurs inconnues. Cette question se lie inti- 

 mement aux précédentes. La méthode élégante fondée sur l'emploi de la 

 résolvante de Lagrange, par laquelle elle est traitée dans le Mémoire n" 3, 

 mérite une mention particulière. L'auteur énonce ensuite cette proposition, 

 dont il est facile de rétablir la démonstration : Deux claises de formes qui 

 appartiennent au même genre sont congrues par rapport à un module quel- 

 conque. Cette nouvelle définition du genre, déjà formulée d'ailleurs par 

 M. Poincaré, a l'avantage de s'étendre immédiatement aux formes d'ordre 

 supérieur au second. 



Les deux auteurs s'occupent ensuite de la représentation des nombres par 

 une forme quadratique à n variables. Ils montrent, en généralisant une 

 méthode de Gauss, que cette recherche revient à celle de la représentation 

 d'une forme quadratique à « — i variables. Abordant ensuite ce dernier 

 problème, ils font voir comment l'ordre et le genre de la forme représentée 

 peuvent se déduire de l'ordre et du genre de la forme qui la représente. 



Les résultats précédents leur permettent de ramener la recherche de la 

 densité des représentations d'un nombre donné par l'ensemble des formes 

 d'un même genre à celle de la densité d'un genre donné. 



