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MEMOIRES LUS. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces à courbure niojeiiue nulle sur lesfjueltes on peut 

 limiter une portion finie de la surface par quatre dioilcs situées sur la sutfncc. 

 Note de M. H. -A. Schwarz. 



« A l'occasion d'un Mémoire récemment publié par M. le D'' Edouard 

 Neoviiis, de Helsingfors, et intitulé : Détermination de deux surfaces spéciales 

 périodiques à courbure moyenne nulle, qui contiennent un nombre infini de 

 lignes droites et en même temps un nombre infini de courbes géodésiques planes, 

 je demande à l'Académie la permission de pré-enter les remarques suivantes. 



» Les surfiices à courbure moyenne nulle sur lesquelles on peut limiter 

 une portion finie par quatre lignes droites formant quatre arêtes d'un 

 tétraèdre offrent cette propriété bien remarquable, que, dans le cas géné- 

 ral, la surface est composée d'un nombre infini de parties égales entre 

 elles; car chaque droite située sur une surface à courbure moyenne nulle 

 est un axe de symétrie de la surface qui peut être déduite par la conti- 

 nuation analytique de chacune de ses portions. 



Dans le cas général , il est aisé de voir que, dans chaque portion finie de 

 l'espace, il entre un nombre infini de répétitions des quadrilatères à surface 

 courbe en question. 



» Mais il y a des cas d'exception. J'ai trouvé qu'il n'y a que cinq sur- 

 faces à courbure moyenne nulle, sur lesquelles on puisse limiter entière- 

 ment une portion finie de la surface par quatre lignes droites et qui jouis- 

 sent, en outre, de la propriété que, dans chaque portion finie de l'espace, 

 il n'entre qu'un nombre fini de répétitions d'un tel quadrilatère à surface 

 courbe. 



» Pour ces cinq surfaces, toutes les lignes droites qu'elles contiennent 

 sont parallèles aux axes de symétrie d'un cube. On pourrait sans doute 

 déduire ce résultat du travail de M. Camille Jordan sur les groupes de 

 mouvements. J'y suis arrivé j)ar une voie toute différente. 



» J'ai étudié deux de ces cinq surfaces dans mon Mémoire intitulé : Dc- 

 lerminalion d'une surjace spéciale à courbure moyenne nulle, Berlin, i8^ i . 



» La troisième est l'objet du beau travail de M. Neovius, qui ne laisse 

 presque plus rien à désirer sur la question. 



C. R., i883, I" Semestre. (T. XCVI, N" 13. j I ^ ' 



