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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fondions uniformes ajjeclées de coupures 

 et sur une classe d'équations différentielles linéaires. Note de M. Appei.l, 

 présentée par M. Roiiquer. 



« 1. On sait qu'une fonction de la variable jt, liolomorplie en tous les 

 points (lu plan situés à l'extérieur d'une ellipse de foyers a et b, est déve- 

 loppable dans cette région en une série de la (orme 



%AA-r'- 



vV- - i)', -^'^ 



h^ 



le signe du radical étant déterminé de telle façon que le module de 

 [x' — s/a:'- — i) soit moindre que l'unité ('). Plus généralement, si l'on 

 considère une aire limitée par des arcs d'ellipses tournant leur convexité 

 vers l'intérieur de l'aire et ayant pour foyers respectifs les points [a,, h^), 

 {a.,, h^), ..,, (rt„, b„), une fonction ^(a;), holomorphe dans cette aire, y 

 est développable en une série de la forme 



^(^) = ^ ^A,;'' (.r, - sixi - i)'', X, : 



II/; ->r />/, — 2. 



» Lesdévelo[)i)ementsen série tels que (2) possèdent les mêmes propriétés 

 et s'obtiennent de la même façon que les développements en série dans une 

 aire limitée par des arcs de cercles. Ils donnent, en particulier, si l'on sup- 

 pose que les ellipses considérées s'aplatissent indéfiniment suivant les seg- 

 ments de droites («,, è,), {a„, b^), .. ., («„, b„), l'expression la plus géné- 

 rale d'une fonction admettant ces segments de droites pour coupures [voir 

 une Note de M. Picard ('), Comptes rendus, 8 mai 1882]. Mais il est à remar- 

 quer que, dans les cas où les ellipses qui limitent l'aire considérée (et plus 

 particulièrement les coupures) ont des points communs^ les n séries qui 

 figurent dans le second membre de l'équation (2) ne sont pas entièrement 

 déterminées. Par exemple, si les deux ellipses de foyers (a,, b,), (n^, ^2) 



ont un point commun a, une fonction G( )> n'ayant d'autre point 



(*) Voir, par exemple, Heine, Handbuch der Kugelfunctionen, ]). ig8. 

 (■-) Dans celle Note, M. Picard ne considère que le cas dans lequel les coupures n'ont 

 aucun point commuti. 



