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 singiilitr que le point a, sera holomorphe en dehors do chacune des deux 

 ellipses; on aura donc les deux développcmenls en série 



.\ - 



= y B, ( X, - v'.r; - 1 )■' = V K (^2 - \Jx: - "i !\ 



dont le premier est convergent en dehors de l'ellipse («,, /?,), le second en 

 dehors de l'ellipse (a,, b.,). Il en résulte que, dans l'espace extérieur à la 

 fois aux deux ellipses, on n 



(3) o =.^IÎ,(a;, ■- V^-; ~ i)"-^lV(a7, - /r; - .)\ 



•/ = V = 



ce qui donne une série que l'on peut ajouter au second membre de l'équa- 

 lion (2) sans changer sa valeur. 



» Lorsque l'aire, considérée limitée par des arcs d'ellipses, se compose 

 de plusieurs aires partielles, on peut déterminer les coefficients A'/' de telle 

 façon que le développement (2) représente, dans chacune de ces aires 

 partielles, une fonction donnée holomorphe dans cette aire. En particulier, 

 si l'on considère un polygone dont les sommets successifs sont «,. rta, . , . , 

 rt,;, ou pourra, en faisant dans le développement (2) 



/), = rtj. /.'2 = Cl; , h,i-\ — "m b„ = a,. 



déterminer les coefficients AI/' de telle façon que ce développement soit 

 convergent en tous les points du plan non situés sur le périmètre du poly- 

 gone, et qu'il rei)résente à l'intérieur du polygone une fonction holo- 

 morphe donnée o(.r), et à l'extérieur une autre fonction holomorphe 

 donnée ij; Ix). 



» II. Soit une équation différentielle linéaire 



, m , ,-/"■•- 1 V ri"' — -r 



(4) ^-^>^-^^^ ' ■ ^' 



- i/.i 



dans laquelle les coefficients X, sont des fonctions luiiformes de x avec 

 un nombre fini de points singuliers. Supposons, de plus, que, par une 



substitution linéaire (•^',77^) effectuée sur la variable indépendante a;, 



l'on ait fait en sorte que l'uitégrale générale de l'équation (4) soit ho- 

 lomorphe dans le domaine du point 8. Désignons par a,, n^, ...,a„^, les 

 points singuliers des coefficients du second membre, et joignons ces 

 points dans l'ordre des indices jiar une ligne polygonale conunençant 



' . R., ]S83, i"' .Srmesin . (1. XLVI, iN" !i1.) '^'2 



