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en a, et fniissanl en a„+,. Si la varinble x est assujettie à ne pas franchir 

 cette ligne polygonale, l'inlégrale générale de l'équation différentielle 

 sera une fonction uniforme de x admettant cette ligne pour coupure. Elle 

 pourra donc être représentée par une série telle que (2), dans laquelle on 

 supposerait 



Si les points singuliers sont en ligne droite, la fonction iiitégr.iie n'a qu'une 

 coupure rectiligne. Cette circonstance se présente tontes les fois qu'il n'y 

 a que trois points singuliers, car on peut, par une substitution linéaire, les 

 ramener à être en ligne droite; tel est, par exemple, le cas de l'équation 

 différentielle de la série hypergéométrique de Gauss. 



» Je remarque, en terminant, que l'on pourrait, dans tous les dévelop- 

 pements précédents, remplacer (x — yx- — 1)' [)ar la fonction sphéiique de 

 seconde espèce que Heine désigne par Q''(ir), et qui est définie dans tout 

 le plan par la série 



où 



ç = a: — \x- — I ( j. » 



THÉORIE DES NOMBRES. — Loi des périodes. Note de M. E. de Jonquièues (- ). 



« I. Théorème XII (fondamental). — 1° Dans loule famille de ))om- 



bics (E) = an -+- dn, il existe cl + i cjroupes lécjidievs, oii les périodes sont iini- 

 forines et de mente longueur respectivement. 



» L'un de ces groupes (E,) résulte des valeurs de n (pti satisfont à la ron- 

 gruence 2rt«^ 2/c/ (niotl. (p), i variant de i à l'infini, et lad autres (Ej), 

 de celles qui snliifonl à n = i'd + Kd^, i' et K étant deux nombres entiers variant 

 Vun, i'., de o à d — i, l'autre, K, de i à l'infini. 



n 2° La famille [E) contient d[d — i) autres groupes semi-réguliers (E^'), 

 déterminés par les valeurs n =: j -+- Kr/^, j prenant toutes les valeurs entières de 

 ^ àd[d — i), à l'exception de celles qui sont égales à i'd, ces mulliplrs de d étant 

 déjà tous affectés aux groupes réguliers (E^). 



» Dans les gioupes (E^') les périodes ne sont pas uni/ormes, mais le nombre 



^') iluiidbuili dcr Kui^eiJ'uncltoncin, ]i. I2g, 



(') Voir Us Cuiiiptes rern/iis des sc.iiices des 2(j lovricr, 12 et 26 mars i883. 



