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(les termca qu'elles onl en commun croit de qneliines unités, dans cluujue (jroupe, 

 clinque fois que Katteint une des valeurs resuttar.l de l'expression R = l.d-'', oh 

 l el (l sont des entiers quelconques. Chaque groupe (E,/') donne ainsi naissance à 

 une infinité de sous-groupes, dans chacun desquels le nombre des termes com- 

 muns à la branche initiale et à la brandie finale de la période est constant, et 

 croît j sans limites, d'un sous-groupe à celui qui le suit dans la série ascendante. 



» 3" Enfin, pour toutes les autres valeurs de «, les périodes n'ont en commun 

 que les termes (trois au moins) dont il a été question an tliéoièmelX, et qui se 

 rencontrent aussi dans les groupes (E,), [Eu), (E^/), aux mêmes places par rap- 

 port aux termes extrêmes. Pour tout le reste, elles sont indépcwlanlts les unes 

 des autres. 



» Telle est la loi générale des périodes des nombres entiers. Elle se 

 double d'un théorème analogue concernant les périodes des familles 



(_E) = bn'— en ('). 



» II. Théokème XIII. — Dans les périodes des groupes (E,), (Ej), le nom- 

 bre des termes (') est toujours pair et jamais inférieur à huit. Le terme central 



,„ > , , . T, -2.(111 — lid 



du groupe (E, ) a pour valeur numeiujue le = i • 



» Itemarquc. — Si la famille E = /m -h fin ne contient (théorèmes 

 VII et VIII) que des nombres à périodes uniformes, c'est parce que leur 



terme central i (si n est pair), ou la (bi n est impair), satisfait tou- 

 jours par une valeur entière à l'expression qui précède. 



» III. ti, qui est au plus égal à a, ne peut être que cl = n + g, ou 

 (l =1 a — g. D'où dérivent deux gTcUides classes coinprenanl t<ius les 

 Mombies entiers possibles. 



» Première classe . — Si l'on pose d = [n — i,' j t + s; [n — 1^)=^ h -i-rt ;..., 

 s, /, /, II, ... éiaiil des nombres entiers positifs, on a : 



( ') Ces pi riodes, ijuoifiuo foniiécs aussi par le procédé de LagrariiV, ne sont pas entière- 

 ment setiiljiablts à celles des familles E = nu + dn. Par exemple, lorsque <-/=; 4' '^^ P^" 

 riodes y sont de 8 et i2 termes, el non plus de 8 et lo, comme dans celles-ci. 



(^) Les péiiodes contenant un nombre impair de termes ne se rencontrent qne dans 

 certaines familles exceptionnelles, et sont des accidents numéiUjitcs individuels dans cer- 



laines autres. Par exemple, dans la famille K = 6«4-5«, tous les nombres ont huit 

 termes à leurs péiiodes respectives, ù l'exception de 6^ -4- 5, qui n'en a que trois. 



