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formes différentes de la fonction arbitraire. D'ailleurs les calculs qui con- 

 duisent aux expressions des coordonnées d'un point de la surface en fonc- 

 tion» de deux arbitraires offrent une intéressante application de la belle 

 théorie des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, qui est 

 due à M. Hermite. J'ai pensé qu'il y aurait quelque utilité à faire connaître, 

 an moins dans ses points essentiels, la méthode que j'ai suivie. 



)) La première recherche se rapporte à l'élément linéaire. Si l'on sup- 

 pose la surface rapportée à ses lignes de courbure, on aura 



et la fonction h devra satisfaire aux deux équations 



d' /. dh\ __ ,Vi_ ,)h_ 

 *■ ' du de \ ' di' j dit ih' 



(2) (1 + ^ -T^+VV'^ + -— ;= O, 



où V désigne une fonction arbitraire de <'. Les lignes de courbure planes 

 sont représentées par l'équation v = const. 



» La première des équations aux dérivées partielles précédentes est du 

 troisième ordre. Il est aisé de l'intégrer complètement et elle est équiva- 

 lente à la suivante : 



(3) ^'=Ue^+U,.-^ 



où U, U| désignent des fonctions arbtiraires de u, 



» Quant à l'équation (2), si l'on substitue à v la variable i>, définie par 

 l'équation 



ch', = - 



elle prend la forme très simple 



i \) -T-i + -r^ = o. 



» Nous pouvons substituer aux deux premières équations le système 

 des équations (3) et (4), où la fonction V a complètement dispiru. On voit 

 donc tout de suite que, s'il est possible d'obtenir une seule solution, cette 

 solution contiendra nécessairement une fonction arbitraire. J'omets la dé- 

 monstration géométrique de ce résultat si curieux. 



