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parvenu en étudiant les beaux Mémoires de M. Hermite dans le Journal de 

 Crelle, t. 41 et 47. 



» T.es recherches sur la réduction des formes quadratiques s'appuient sur 

 le théorème suivaiit : 



ti 



» I. Une forme qitadraliqite positive /=z \ «,/iX,X/, à déterminant D n'ob- 

 tient que pour un nombre fini de systèmes numériques (x,) une valeur qui ne 

 surpasse pas une quantité positive donnée E. 



» Démonstration. — En appliquant à/ la substitution au déterminant i, 



/ f/l) àD\ ,,5. ., 



f se4'a Iransformée en 



OÙ g, représente une forme positive aux n — i variables y,, [k^i). Par con- 

 séquent, si la valeur de f ne doit pas être phis grande que la quantité E, 

 nous obtenons un système d'inégalités 



auquel ne peut satisfaire qu'un nombre fini de nombres entiers x\ . 



» Nous arrangeons toutes les formes positives en un certain ordre. Nous 



flisons qu'une forme positive ^' = / CjkOCiXk est placée à côté d'une forme 



I 

 n 



f — \ aikXiXf., si les coefficients c,, sont égaux aux coefficients rt„, par 



1 



contre au-dessus (ou au-dessous) de la formel, si les coefficients c„ et a,, ne 

 sont pas tous d'accord, et si le premier coefficient c,,, qui n'est pas égal 

 au coefficient correspondant a,,, est plus grand (ou plus petit) que «,,. 



» A l'aide du théorème I, on peut facilement démontrer : i° que, parmi 

 toutes les formes qui résultent d'une forme donnée f moyennant des 

 substitutions numériques au déterminant i et qui donnent la classe J\ ap- 

 paraissent certaines formes 'j, qui sont placées au-dessous de toutes les 

 autres formes de cette classe; 2" que le nombre de ces formes ep est ordi- 



