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nairemeiit égal à i , et que ce n'est qu'exceptionnellement qu'il devient 

 |)lns grand que i; 3" que ces formes © peuvent lonjours être trouvées par 

 un procédé yi/u'. 



» Les formes © =^ > «;/(?/?< sont ce que M. Hermite appelle des 



for 



mes 



réduites. D'après notre définition, les formes réduites 9 de la même classe 

 ont sûrement les mêmes coefficients a„. 



» n = i, 2, 3, 4. — Pour ni: l\, nue forme tf est réduite, et elle ne l'est que 

 si elle satisfait aux inégalités 



(I) cz,,<or„o<...<a„„ 

 et à toutes (es inécjalités 



(II) (p(c,,S2. •••,î« ■ = «» /£/= + I, — 1; £/.= O, -4- I, — l\ 



daiis lesquelles s, signifie une unité, et oii les autres n, ont ou les valeurs o, ou 

 + \ , ou — I . 



1) Démonstration. — A. Les conditions (I) et (II) sont sûrement néces- 

 saires, pour que y soit une forme réduite; car, si l'on avait a, ]> a, poiu- un 

 ' <C '01 <P serait transformée par la substitution 



[S(I)] ■ ç/= •'?,•„, ç,-.= — ■/;,■, |a=-/î/, (/<?„;A^/, /„), 



et si l'on avait ©(s,, So, .., j„) <^ «„(£,•= ±: r ; j/, = o, ± 1), par la substitu- 

 tion 



[S(II)] ^--^^^l^^-r,,,. h-ra {k%i) 



en une forme qui serait placée au-dessous de cp; par conséquent, 9 ne 

 pourrait pas être réduite. Des inégalités (II) résultent spécialement les con- 

 ditions «„ ± 2(/.,/, 4- aAA= a,i) c'est-à-dire 



» B. Les conditions (I) et (II) sont aussi suffisantes pour que o soit ré- 

 duite. Pour le démontrer, nous observons : 



» 1° Que des inégalités (II) résultent toutes les autres inégalités 



{m) • ç!, 7/,. ///,,...,/;?„)> a,,- (;;.',•> o). 



dans lesquelles m, signifie un nombre quelconque différent de zéro, et les 



