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 pendant qu'on a en même Inmps 



'", ~ ^,- > o et 2; m'I > l{iii;, — 5, 



/.;=■ 



» Si nous mettons maintenant Im'l = M, et si nous supposons que le 

 point 1° du tliéorème (B) soit déjà prouvé pour tous les systèmes 

 ('"11 '"21 •••! "h,), W/>o, pour lesquels Inr devient plus petit que M, il 

 ressort évidemment 9(OT^—'y^)> a,-, et 9 ('"/,) = ^r,,- Sans doute rinégalité {m\ 

 a lieu pour les systèmes {m/,), pour lesquels on a lmj<i, (//i,> o), c'est- 

 à-dire pour le seul système/», = I, w/, = 0, {k>.i). Ainsi, le point i"est par- 

 faitement démontré. 



» 2" Admettons que pour la forme o les inégalités (I) et (II) soient satis- 

 faites et, par conséquent, aussi toutes les inégalités (m). Alors 9 est, en 

 effet, réduite. 



» Démonstration. — Nous supposons d'abord que f puisse être trans- 



n 



formée par une substitution numérique Çi~\r'^yi/, au déterminant i en 



n 



une forme tf = N /3,/,vî,y3A, qui soit placée au-dessus de <p. Soit ^^e le pre- 



1 

 mier des coefficients fi, , , jS^a, • . ■ , |5„„ de la forme >]/, qui n'est pas égal au 

 coefficient correspondant de la forme (p. Alors on doit avoir /3„<a,Yet 

 P'V.= «/.,„(<?,</). Nous obtenons /3,-,= Ç'(/-',, K, ■■,'■'„)■ Soit l'I la dernière 

 des quantités r\, r'.., ..., r)^, qui est différente de zéro. Puis, à cause de {m), 

 on a l'inégalité Pi, = o{r'^)>^ee- Soit «.^^^^{e^le) la dernière des quan- 

 tités a,,, 7-22, .. , a„,„ qui a encore la valeur a^^ tandis que a^^ devient 

 <aa, si k est > c„. On conclut des relations a„>|3/,, ^al'J-ee — '^-e.e, et des 

 inégalités (I) que le nouibre e^ et de même le nombre e(£ej est < /; par 

 conséquent toutes lesquantitésr^/>eoï;e) sont égales à zéro, ^i,^ devient, 

 pour k^Co<^l, égal à a^^^a^^^^. Il en ressort que toutes les quantités/-^, 

 pour lesquelles on a /i6>„ et A> e„, sont égales à zéro, puisque chacune de 

 ces quantités, si elle différait de zéro, fournirait, contrairement aux con- 

 ditions (I), une inégalité aA;t> a,,, (/t|(?„, /> c„). Dans le déterminant \r'J 

 s'évanouissent maintenant toutes les (« — e») (Co+ ') quantités 



'K' = I > 2, . . , r„ ; // ; /i = ('^ + r , Co + 2, . . . , n), 



qui sont les membres d'un système do n — e^ séries horizontales et de 

 ^0+ I séries verticales. Ce déterminant doit donc être égal à zéro, et l'on 

 rencontre une contradiction. 



» De ce qui précède on déduit, à l'aide du théorème I, que l'on peut 



