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» En ce qui concerne, dans ce tableau, les signes dont sont affectés, 

 entre les parenthèses, les termes indépendants de n, je me bornerai à ob- 

 server que, dans les fractions terminant chaque ligne, ces signes marchent 

 toujours ensemble au numérateur et au dénominateur, positifs lorsque 

 l'indice i de x^ est pair, négatifs quand cet indice est impair. On en conclut 

 cette conséquence importante : lorsque le reste r, est nul, on a 



Or, dans ce cas, on a 5,_, = d, d'après les propriétés qui découlent de la 

 théorie élémentaire du plus grand commun diviseur. Dans l'opération 

 subséquente, qui donne la valeur de a;,+, , comme l'on a à retrancher du 

 carré de I, c'est-à-dire de a^jr -h dn, le carré de la quantité contenue entre 

 les parenthèses, on aurait un résultat négatif, ce qui ne se peut, si le reste 

 r, := o se présentait à un rang pair i = 2J, à cause de 



[an 4- 5,_2f'')'> a-ir -\- dn. 



I-e quotient ç,, correspondant à ce reste, ne serait donc pas un terme de 

 la période, et telle est la raison de la règle énoncée, sans explication, au 

 théorème XVI. 



» On voit en outre que, si la condition du signe négatif est remplie, 

 donc si lest impair, la valeur de a;,+, sera 



_ ^-1 A,_,- « — e?_2 _ I — ( a« — 9,._, d) 



I —[an — ^,-id) d- 



» L'apparition du dénominateur numérique d-, indépendant de «, arrête 

 là, comme je l'ai dit, l'opération, algébriquement parlant, sauf pour les va- 

 leurs de 71 qui satisfont (*) à la congruence ■i.an^i9i_., (f(mod. d-) ou à 

 l'égalité n = i'd-hkd-, et de là découlent les conséquences que j'ai fait 

 connaître concernant les groupes réguliers (E,), (E,;), le terme central 



2a« — 20,_,f/ 11- . , , , 



■^, 5 le nombre toujours pairement pau- des termes de la période 



uniforme du groupe (E, ), et d'autres encore. 



(') Ces valeurs satisfont, ?" étant convenablement choisi, à ViiricdeségaVilés n=:/'d -h Ad^. 

 Le groupe (E,) n'est donc que l'un des groupes (E,,), dont le nombre est par suite d, et 

 non d + 1, comme je l'avais annoncé au ihéorcme XII. iMais ce groupe (E, ) se distin"uant 

 de tous ses congénères par des propriétés qui lui sont propres, il convient de lui maintenir 

 son individualité. Je reviendrai là-dessus. 



