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» En nous appuyant sur ce théorème, nous allons démontrer le suivant, 

 qui concerne luie figure plane, formée d'une courbe algébrique quelconque 

 et d'une aulre courbe algébrique possédant un point multiple d'un ordre 

 de multiplicité inférieur d'une unité à son degré. 



M Théorème. — Etant données, sur un même plan, une courbe algébrique quel- 

 conque (K„) de degré n, une secomle courbe algébrique (Tj,.) de dec/ré r, ayant 

 un point multiple T d'ordre r — i, et une droite arbitraire (D), si l'on désigne 

 respectivement jtar a, b, c les points d'intersection avec (D) : i° d'une droite 

 joignant le point I à l'un quelconque des nr points d'intersection des deux courbes 

 (K„) et (L,.); 2° de la courbe (K„) ; 3" de l'une quelconque des r — i tangentes 

 en I à (L,.) ; si l'on désigne en outre par e et [deux quelconques des points d'in- 

 tersection de (D) avec ( ]j,.), on a la relation d'involution 



I s f"e\ [ l>e\ ( ce\'' 



» Pour appliquer le théorème de Poncelet rappelé plus haut, nous allons 

 former avec les éléments de la figure un faisceau de trois courbes algé- 

 briques d'un même degré, qui seront composées chacune de deux ou 

 plusieurs lignes d'un degré inférieur. 



» Le degré commun des trois courbes sera jn—iir. La première (A,„) 

 sera formée des nr droites joignant le point I aux /^r points d'intersection a 

 de (K„)et de (L^.). La seconde (B„,) se composera de (K„) et de /■ — i droites 

 n-tuples coïncidant avec les / — i tangentes (T) de (L,.) en \. Avant de défi- 

 nir la troisième, cherchons les m^ — n-r- points d'intersection de (A,„)et 

 de (B,„). Les ///• droites composant (A,„) coupent ensemble (K„) en ?i- r 

 points. Chacune d'elles coupe en outre en « points confondus en I chacune 

 des /•— I droites ?i-tuples (T) qui, jointes à (K„), complètent (B,„). On 

 obtient ainsi en tout n^/(/'— i) points d'intersection confondus en L En y 

 ajoutant les /i-r points déjà trouves en dehors de I, on a bien les 7i-r- = m- 

 points d'intersection de (A,„) et de (B,„). Quelques-uns de ces n-r- points 

 sont situés sur (L^). Ce sont : 1° les nr points d'intersection de (K„) et de 

 (L^); 2° les points de rencontre de (L;.)avec les (/• — i) droites /z-tuples (T): 

 ces derniers points, tous confondus d'ailleurs avec le point I, .sont au 

 nombre de nr{r—\). Parmi les trr- points communs à (A,„) et à (B,„), 

 nr-^jir{r — i) = nr^ se trouvent, par suite, appartenir à (L^). Or, d'après un 

 théorème bien connu dû à Gergonne ('), si, parmi les rrr- points d'inter- 



[') annules de Matliémaliqnes, t. XVII, p. 220. 



