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 (le laquelle il résulte que les i premiers quotients incomplets ou termes de 

 la période du nomljre E sont les mêmes que ceux du reste de la famille (E). 

 Qu int ;iux nombres E déterminés par les valeurs initiales de ji inférieures 

 à cette hmite, leurs réduiles ne pré^enleiU pus de coiiu idences entre les deux 

 modes . 



» 111. A cause de l'importance du théorème XTX, je vais en donner la 

 démonstration, qui servira de lype, ou d'indication, pour celles que, faute 

 d'espace, je ne pourrais donner ci-après. 



» Démonstration. — Je conserve aux lettres 7,, f/o, 73, . . . , 7,, . . . ; /',, 

 /•„. Tj, ..., /•,, ... les mêmes significations que dans ma Note du 23 avril 

 1 883. Soient aussi 



P^ P, £2 P^ 



Q„' Qi' Q2' ■■' 0, 



ÎLl El El . . Ei. 



les réduites du premier mode, 

 les réduiles du second mode. 



où P„ — rio = nn, Q„ = X„ = I . 



» D'après la loi de formation des réduites du premier mode, on a, pour 

 les valeurs des dénominateurs successifs, 



Qo=i, 0, = ,/,, Q,= 7,Q, + Qo, Q3 = 73Q^ + Q ' 



11 y a deuTi cas à considérer : 



» 1° Si 2a et rfsont premiers entre eux, et r,- = o, on a r,= o, r,_, = i, 

 /•,_2=r/,, d'où l'on conclut, eu remontant de proche en proche et ayant 

 égard à la suite récurrente qui donne les valeurs de 2rt, t/, /, , r.,, . . . , r,_,, 

 en fonction de ces mêmes (|uantités et des quotients 7,, 7,, 7.J, . . . , 7,, ... 

 (voir la Note précitée) : Q,= 2a, Q,_, = d. 



» 2" Si, a et ^/ étant premiers entre eux, 2a et d ont en commun le fac- 

 teur 2, r, := o, /',_, = 2, r, o = 27,, mais ou a encore Q, = 2a, Q,_, = d. 



» La même loi de formation donne, pour la valeur des niin)ératenrs, 



Po = fl«, P, = Q,rtAi-i-Qo, P2=Q.irt«-t-Q,, ..., P, = Q,a« + Q,-,, .... 



de co|>ic' : fin lien de D-, li^cz B'. l'ïlie sigiiifie que le (|ii(iticnl <■/,, ol)tenii en divisarit l'un 

 par l'aiilrc le tenue du nimiéiateiir et celui du ilénoiiiinateiir ()ui ont n jiour fadeur, dans 

 l'expression fractionnaire de jt, (|ui le précède, et (jui sont, respectivement, égaux à r,_j et 

 r,_, (restes consécnlifs obtenus dans ropi'ration dti plus grand coinuiiin diviseur), diffère 

 de moins d'une untlé de celui que donnerait la division du nuiuiTateur conq>l(l par le déno- 

 minateur complet de celte u)èine traction. 



