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p, p ?«-w 



» La réduite de rang /, -^) a donc ijour valeur -!■ = ' 



» Dans le deuxième mode, on a d'ailleurs 



,— du d 



y'E = an + 



dn 



dn 



1 1 . . ' 1 • 1 1 ' Po Pi ia^ n -{- d , . , 



donc la première réduite de ce mode après --) savoir -— = Auisi 



' ' Qo Qi 2 a 



elle est identique à celle du premier mode et, d'après la marche même du 



calcul, on voit que cette coïncidence ne peut se présenter pour une réduite du 



P 

 premier mode antérieure à -r^; ce qu'il fallait démontrer d'abord. En second 



lieu, comme la démonstration exige l'intervention numérique du quo- 

 tient fy,, qui est aussi le /"""^ terme de la période, il est évident qu'elle ne 

 s'applique pas à ceux des nombres E dont la période ne contient pas ce 

 terme <y,, c'est-à-dire qui sont compris dans l'exception relative aux valeurs 

 initiales de 72, citée plus haut (II). 



» Si l'on fait, par exemple, i =^ 5, cas qui se rencontre dans une infinité 



de familles, telles que E=l\it -+- 5n; ='-n -\-iin; =9" -+-i3/2; 



= 3\n -hi'jn; = ^qh -hliin; ..., on trouve, en effectuant les calculs 

 indiqués ci-dessus et tenant compte de ce qu'ici /'g = o, r,, ^ i , Ts = «/g : 



2rt = f/,f/-l-r, = <7i {(j.rt+ r.,) + r, 



— ''1(71'^+ i) + '?r'^= (y3'-2+ ''3)(7i72 + +'7.('7i''3+ r\)=^ ... 

 = 75747a727i + 757173 + V57-.7i + 757271 + 737-271 + 75+73 + 71' 



et, d'autre part, 



Q.= 75(7>Q3-^ Q.) + Q3 = Q.(75 7.'. + + 75Q2 



= 757*73Q2+757'iQ«+73Q2+75Q2+Q,=--- 



= 757i73727" + 757^73+757.7i + 75727i+ 737271 + 75+ 73+7-= ^rt- 



» Un calcul analogue donne pareillement Q^ = ^. La loi de formation 

 de ces expressions de 2a etQ,, <i? et Q,., est manifeste et générale. 



» IV. On comprend aussi, par la nature et la marche de l'opération, 

 qu'il n'existe aucune raison algébrique pour que la coïncidence des réduites 



p. n- 



^j Y se reproduise plus loin, si ce n'est dans les périodes qui sont algé- 



C. R., 1SS2, 1" 5fmsji/e. (T.XCVI.N» 19.) lyS 



