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TFlÉORiK DES NOMBRES. — Loi des périodes (suite) ; 

 par M. E. DE JoxQiTiÈREs ('). 



« VI. Après avoir fait connaître la loi de la coinposilion des périodes, il 

 nie reste à dévoiler le secret de \euY formation . 



» Je supposerai q\ie -in et ^ sont premiers entre eux, dans l'expression 



générale ¥, = an -h dn. 



» En effectuant l'opération de la recherche du plus grand commun di- 

 viseur entre laeld, désignons par 



/•, t, l, II, (', X, y, z, u-, . .. 



la partie entière des cpiotienfs, et par 



a, (i, ■/, 0, e, çp, p, 77, X, ■ . . 



les restes correspondants des divisions successives. La loi dont il s'agit se 

 formule très simplement ainsi : 



» Théorème X\'I. — i° Les nombres r, t, l, n, ... sont les termes con- 

 séculijs communs à chacune des deux branches des périodes de tous les nom- 

 bres (E) qui ne sont pas exceptés par la réserve spécifiée au théorème IX [la- 

 quelle concerne un certain nombre, très limité, des valeurs initiales de «J, 

 juscpies et y compris le quotient qui a zéro pour reste correspondant, si le rang 

 que ce quotient occupe dans la série est impair. Dans le cas oii cette dernière 

 condition ne se trouve pas satisfaite d'elle-même, les deux derniers quotients et 

 l'auant-dernicr reste sont modifiés (d'une manière permise qui sera précisée 

 ci-après), de façon que le reste zéro soit reculé au rang impair qui suit celui oii 

 il se présentait. 



» 2° Les termes ainsi obtenus sont immédiatement suivis, dans les périodes 

 du qroupe régulier (E,), par un terme central dont la valeur numérique est 



, Q étant une fonction i^ationnelle et entière de t, l, u, v, jc, ... dont 



l'expression est donnée par le théorème XVII, et oii r n entre pas. 



» 3° Les demi-périodes du groupe (E,) sont donc paires, et par conséquent 

 le nombre des termes des périodes est toujours un multiple de [\, non inférieur à 8. 



» VU. D'après les notations adoptées, on a 



ia=^dr -\- a, d = at + ^j, a:=^l-hy, 



(') Voir Comptes rendus, séance du 9 avril. 



