( 'I^> ) 



trouve 



2000^^7.257 + 201, aSy = 1 .201 + 5G, 201 == 3.56 + 33, 

 56=1.33 + 23, 33 = 1.23 + 10, 23=2.10 + 3, 10 = 3.3 + 1 



» Là l'opération suivante donnerait 3 = 3.i + 0; mais, comme ce reste se 

 présenterait au huitième rang, le quotient 3 ne saurait être un terme de la 

 période, parce que ce rang est pair. On écrira donc 3 == 2.1 + i et enfin 

 1 = 1.1 + 0. 



» On aura ainsi placé le reste o au neuvième rang, sans altérer le calcul. 

 Les neuf premiers termes communs aux nombres de la famille (E), qui 

 sont aussi les neuf avant-derniers, sont donc 7, i, 3, i, i, 2, 3, 2, i, elle 



... . , , /I-. \ • • 9.000/? — 358. ^Tt 

 terme central qui les suit dans le groupe (E,j est ici ^ '-• 



257 



» Mais, pour que ces neuf termes appartiennent à la période d'un des 

 nombres (E), il faut qu'on ait ici /i > 56. Pour les huit premiers, la limite 

 s'abaisse à ?i ]>43 ; pour les sept premiers, à « ^ i ; enfin les six termes 7, 

 1,3, I, 1,2 sont communs à tous sans exception. Cette condition s'exprime, 



en gênerai, |)ar I inégalité n > -r^ > B, C, u,i étant des nom- 

 bres entiers déterminés pour chaque terme et connus a priori. 



» X. J'aurais encore à parler des groupes (Ej) et à présenter diverses 

 remarques curieuses sur les points que je viens de traiter. Ou les trouvera, 

 avec les démonstrations, dans le Mémoire justificatif, » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les groupes de transformation des équations 

 différentielles linéaires. NotedeM. E. Picaud, présentée par M. Hermite. 



« Les analogies entre les équations différentielles linéaires et les équa- 

 tions algébriques ont été depuis longtemps signalées et poursuivies dans des 

 directions différentes. On n'a pas cependant, je crois, cherché à développer 

 pour les équations linéaires une théorie analogue à celle qui a été donnée 

 par Galois pour les équations algébriques. En employant une méthode pré- 

 sentant la plus grande analogie avec celle dont a fait usage l'illustre géo- 

 mètre, on arrive à une proposition qui semble correspondre au théorème 

 fondamental de Galois, et l'on est ainsi conduit à la notion de ce que j'ap- 

 pellerai le groupe de transformations linéaiies correspondant à l'équation 

 différentielle. J'emploie cette expression de groupe de transformations déjà 

 employée par M. SophusLie dans son Mémoire si remarquable [Théorie der 



