( ii33 ) 



par M. Kœnlgsherger {Théorie des éiiitations différentielles, 1882), c'est-à-dire 

 n'ayant aucune solution commune avec une équation de même forme et 

 d'ordre moindre, ait une intégrale commune et, par suite, toutes ses inté- 

 grales communes avec l'équation (2). L'équation (4), supposée différente de 

 l'équation (3), n'aura avec celle-ci aucune solution commune, et, par suite, 

 à chaque solution de l'équation (4) correspond un système d'intégrales 

 fondamentales pour l'équation linéaire proposée. 



» Soit donc j',, y.,^ . . ., j'„, le système fondamental correspondant à une 

 certaine solution v de l'équation (4), et Y,, Y., . . ., Y„, le système corres- 

 pondant à une solution quelconque Y de la même équation; on aina 



et les a seront des fonctions algébriques de P paramètres arbitraires. L'en- 

 semble de toutes ces substitutions est le groupe de transformations linéaires 

 relatif à l'équation différentielle (1) : nous le désignerons par G. 



» On peut établir, à l'égard de ce groupe, la proposition suivante, qui 

 est l'analogue du théorème fondamental de Galoisdansla théorie des équa- 

 tions algébriques : 



» Toute fonction rationnelle de x et de j^, jn^ . . ., y,ni ainsi que de leurs 

 dérivées, s exprimant rationnellement en fonction de x reste invariable quand on 

 effectue sur y,,)'^' ■ ■ -lym les substitutions du groupe G. 



» Considérons, en effet, une tellefonclion, en y remplaçant j-,,^o, ••.f)'m 

 par leur valeur en fonction de V et égalant à une fonction rationnelle ; on 

 aura 





F et R étant rationnelles, et celte équation devra coïncider avec l'équa- 

 tion (4), à cause de l'irréductibilité de celte dernière, d'où l'on conclut le 

 théorème énoncé. 



» A ce théorème il faut joindre sa réciproque, que nous ne ferons 

 qu'énoncer : 



» Toute fonction rationnelle de x et de Jtif-i, •••?/;«> ainsi que de leurs 

 dérivées, qui reste invariable par les substitutions du groupe G est une fonctioti 

 rationnelle de x. 



» Une question se pose maintenant : celle de la recherche des groupes 



