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pour coupure le segment ( — i, + i) et la (onclion i|; nclinettra les deux 

 coupures (— oo , — i) et (-h r , + ce ). 



» En effet, désignons par la notation F(.r) une fonction qui sera égale 

 'df dans la partie supérieure du pian et ày, dans la partie inférieure. Dé- 

 crivons sur le segment (— i, + i) comme diamètre une circonférence C 

 qui aura pour centre l'origine et pour rayon l'unilé. On démontre aisémrnt 

 qu'on peut toujours trouver deux fonctions entières G[x) et G'(x) telles 

 que 



tonde vers o quand x tend vers — i ou vers + i en suivant la circonfé- 

 rence C. 



» Cela posé, si l'on pose a: = pe™ et qu'on fasse p = i, F(x) 0[x) sera 

 une fonction de « développable par la formule de Fourier, de sorte que 



F(x) Ô{x) = lc,nCosm'j) -h ld„,s\nnioi, 



ou bien, eu supposant toujours p ^ i, 



F{a;)0{x) = la„,r-"' -h lb,„x"'; 

 posons 



» Ces développements ne définissent la fonction (p qu'à l'extérieur et la 

 fonction (|; qu'à l'intérieur du cercle C. Mais il est aisé de définir ces fonc- 

 tions poiu- toute l'étendue du plan, à l'excepliou de leurs coupures respec- 

 tives. Soit, par exemple, à définir la fonction f{x) pour un point ce situé 

 dans la moitié supérieure du plan. Soit AMB un arc du cercle C situé tout 

 entier dans la moitié supérieure. Soit BNA ce qui reste de C quand on en a 

 enlevé cet arc AMB. Soit APC un arc de courbe ne coupant pas l'axe des 

 quantités réelles et laissant le point x en dehors; on définira ^(.r) de la 

 façon suivante : on posera 



2n:f{x)0{x)= j ^;JJ > 



l'intégrale étant prise le long du contour AFBNA. On posera ensuite 



^{x) =F(x) - o{x} 



et les fonctions rp et | ainsi définies satisferont aux conditions énoncées. 

 » Il est clair d'ailleurs que ce qui précède s'applique au cas où la fonc- 



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