( ii36 ) 

 honJ{cc), au lieu d'être limitée par l'axe des quantités réelles, admettrait 

 un espace lacunaire quelconque. 



» Voici le point sur lequel je désirerais attirer l'attention. On pourrait 

 croire qu'il existe une fonctiouy, (^) qui serait le prolongement naturel 

 dej{x) dans la moitié inférieure du plan, de telle sorte que, si deux fonc- 

 tions y et tj; existant dans tout le plan ont pour somme / dans la moitié 

 supérieure, elles devront avoir pour somme/, dans la moitié inférieure. 

 Il n'en est rien; je puis choisir tout à fait arbitrairement les deux fonctions 

 /et/, ; de sorte que/ n'a pas à proprement parler de prolongement naturel 

 au delà de l'axe des quantités réelles. C'est le résultat auquel conduisait 

 déjà l'étude des développements infinis. 



» On pourrait se demander ce qui arriverait si l'axe des quantités réelles 

 était pour /et pour/, une limite artificielle et non une limite naturelle^ si, 

 par exemple, on prenait/"= i etf, = o. Les coupures des fonctions ç et ^ 

 seraient alors aussi des coupures artificielles et, si l'on voulait les prolonger 

 au delà de ces coupures par la série de Tajlor, elles cesseraient d'être uni- 

 formes. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une (jéuéralisalion du théorème de Fermât. 

 Note de M. Picquet, présentée par M. Hermite. 



« On sait que les 3to points d'intersection d'une cubique plane avec une 

 courbe du degré m ne sont pas arbitraires. Bien qu'il faille plus de 

 3ni points pour déterminer une courbe du degré m, on n'en peut prendre 

 arbitrairement sur une cubique plus de Zm — i, au moyen desquels le der- 

 nier se trouve complètement déterminé. Lorsqu'on exprime, suivant l'une 

 des méthodes connues, les coordonnées d'un point variable de la courbe en 

 fonction doublement périodique d'un argument, cette propriété se traduit 

 par une relation entre les arguments des 3m points d'intersection : Clebscha 

 fait voir que leur somme est constante; et si l'on emploie, par exemple, la mé- 

 thode de M. Hermite, la constante est égale à 77ifoisla somme des infinis de x 

 etj'. On peut donc supposer que la courbe C^ait en un point donné 3/7z — i 

 points consécutifs confondus sin- la cubique : elle n'est pas déterminée; 

 mais, quelle qu'elle soit, elle rencontre la cubique en un dernier point 

 qui est fixe. Si l'on opère sur ce point comme sur le premier, et ainsi de 

 suite, on obtiendra une espèce particulière de polygones curvilignes, lermés 

 si le premier sommet est convenablement choisi, dont les côtés sont indé- 

 terminés, mais dont les sommets sont parfaitement déterminés; qui sont à 



