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 la fois inscrits et circonscrits à la cubique, circonscrils par des contacts 

 (l'ordre 3m — 2. Le nombre total des sommets des polygones de n côtés 

 répondant à la question se calcule aisément à l'aide de la représentation 

 elliptique des points de la courbe; il est égal à [(3/72 — 1)" — (— i)"]''. 



» Mais il renferme des solutions étrangères provenant de tous les poly- 

 gones dont le nombre des côtés est un diviseur quelconque de n. Dans le 

 dénombrement de ces solutions intervient une fonction arithmétique, très 

 curieuse, dont la définition est la suivante. Soient a- etn deux entiers quel- 

 conques, soient a, b, c, ..., Z les facteurs premiers de n; cette fonction est 



I„'x) — ce" - lx"-T- Ix"'' - I.x"'"' + . . dz .r"'^'--', 



où les signes 2 qui figurent dans le second membre s'appliquent respecti- 

 vement à tous les exposants dans les dénominateurs desquels les facteurs 

 premiers de «figurent eu même nombre. Si ?i est premier, on a 



c'est la fonction de Fermât, qui est toujours divisible par n. 



» Cela posé, on trouve pour le nombre propre des sommets des poly- 

 gones [m, ?i] l'expression 



2„[(3m- i)-J - 2:-„(i — 3m), 



qui csl divisible par ji,\e quoiient des'Ant être le nombre même des poly- 

 gones. Mais on peut obtenir un résultat en même temps plus simple et plus 

 général par l'étude de ceux de ces polygones pour lesquels l'argument des 

 sommets a sa partie réelle ou sa partie imaginaire constante. On peut, par 

 exemple, comme l'a fait Rlein ('), imaginer dans le plan deux systèmes de 

 courbes, les courbes méridiennes et les courbes de latitude, le long desquelles 

 la partie réelle, pour les premières, la partie imaginaire de l'argument 

 pour les autres, est constante. On trouve alors que le nombre des courbes de 

 chaque système sur lesquelles sont répartis les sommets des polycjones [iii, n\ est 

 égal à {3m — i)" — ( — i)"; quen général un polycjone change de courbe d'un 

 sommet à l'autre et n'a jamais deux sommets sur ta même courbe ; que le con- 

 traire a lieu pour les courbes dont le rang est u)i multiple de 



(') Ueber eine neue Art der Riemann sclien Flachen [Math. Ann., t. VII, p. 558). 



