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sur lesquelles sont répartis les points de cdincidence x,„ ( ' ), et en outre un nombre 

 de sommets égal à 2„[3 ni — i) ; qu'enfin parmi ces dernières se trouvent, comme 

 courbes de latitude, la branche à inflexions de la cubique, et, si m est pair, l'ovale, 

 lorsqu'il existe, d'où l'on conclutqup2„(377i — i) est divisible pnrn, qiie\s que 

 soient les entiers m et ?i, d que le quotient est le nombre des potjgones à som- 

 mets réels situés sur la branche à inflexions, tandis qu'il y en a autant sur l'ovale, 

 lorsqu'il existe et que m est pair. 



» Ainsi l'expression 1„ [3m — i) est divisible par n. Nons avions énoncé 

 ce théorème au Congrès de Montpellier, clans le cas très particulier où 

 m = i. M. Sylvester, qui n'a pu en avoir connaissance, puisque la Com- 

 munication n'a figuré aux comptes rendus du Congrès que par son titre, 

 l'a reproduite dans un très intéressant Mémoire (-) et dans le même cas 

 particulier. Il y a ajouté un commentaire que nous ne pouvons nous dis- 

 penser de reproduire, non seulement à propos de la généralisation que 

 nous venons d'indiquer, maisà propos de celle qui va suivre; il a dit que 

 cet exemple de l'inlervention de la Géométrie pure dans la théorie des 

 nombres est sans précédent dans l'histoire des Mathématiques. 



» On peut étendre le théorème au cas d'un entier quelconque x, qui 

 soit ou non de la forme 3m — i . H suffit pour cela de s'appuyer sur quel- 

 ques propriétés, presque évidentes, de la fonction arithmétique 2„(a;), qui 

 sont les suivantes : 



» i" Si l'on désigne par v, x et a trois entiers quelconques et par a un 

 nombre premier, on a 



» 2° Si 71 ne renferme qu'un .'acteur premier, on a, par définition, 



2„(,r) = .T" 



X 



» 3° Ces deux propriétés caractérisent la fonction. 

 » 4° 2„(^) — 2„( j) est divisible par x — v. 



» D'après cela, supposons l'entier x de la forme 3in+ r. Alors, si n est 

 de la forme 3m — i, l'expression l,i{x -+- in) — ^„{x) est divisible par 2n. 



( ' ) M. Halphen a donné lo nom de points de co'ùicidciice .;■,„ sur une cubique à ceux sui- 

 vant lesquels, exceptionnellement, il txiste unecoiiilie du cicgrt' «/ dont los 3'« points (l'in- 

 tersection avec la cubique sont confondus. 



(^) On certain ternaij cubic-fonn cquations [Am.J. of Matli., t. II, p. 35-, et t. III, 

 p. 58). 



