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 » Troisième classe : 



B = o avec A>o et A— rt<C et ,A, + C>o. 



» Toutes les hypothèses possibles se trouvent comprises clans ces 

 tableaux des arrangements exceptionnels et non exceptionnels. 



» A chacune des trois classes des derniers je vais assigner un opérateur 

 qui peut être appliqué à chaque arrangement de cette classe et qui le trans- 

 formera dans un autre arrangement appartenant à la même classe; celte 

 disposition, appliquée deux fois successivement, reproduira l'arrangement 

 sur lequel on opère, lequel ne changera pas la somme des éléments, mais 

 changera chacun des deux caractères en sens opposé : c'est-à-dire que 

 chacun des trois opérateurs que je vais définir, et que je nommerai (p, (]>, 5, 

 doit satisfaire à cinq conditions qu'on peut nommer catliolicilé, lioitiœogé- 

 nèse, maUialité, inertie et énanliotropie . 



» 1° (f signifie que, si C = o ou C — c>-'B — 'B, on doit former un 

 nouveau C, eu substituant, pour chaque 'B, 'B- (c'est-à-dire sa valeur 

 diminuée de c),et reconstituer l'inertie originale en ajoutant ensemble les c 

 ainsi soustraits pour former un nouveau C, et que, dans le cas contraire, 

 C doit être décomposé en simples c, dont on ajoutera un au premier 'B (le 

 B le plus grand), un au second 'B, etc., jusqu'à ce que tous les c dont on 

 a à disposer soient épuisés. 



» 2° ^ signifie que, si B> o ouC = o, ou C>>'B + A, on doit former un 



nouveau C en substituant à '13 et A leur somme et que, dans le cas con- 

 traire, C doit être décomposé en !B et A si B>o et en Z* et A si B = o. 



» 3° ^ signifie que, si C = o ou C-t-A, = >-A, il faut décomposer ^A 

 en A, et C ou en a et C, selon que A,= ou >-o, et que, dans le cas 

 contraire, pour C et A,, il faut substituer leur somme. On sera satisfait en 

 étudiant les conditions des trois classes que les y, ij;, 2r possè lent tous les 

 trois cinq attributs voulus : la preuve en est facilitée en supposant que, 

 dans chaque série des C, des B et des A, prise séparément, on suit un ordre 

 régulier de grandeur dans l'arrangement de ces termes respectivement au 

 multiple de c qui entre dans chacun d'eux. 



» Si l'on donne à a et à b des valeurs quantitatives (ce qui est toujours 

 permis), et en particulier les valeurs i et a respectivement, on retombe 

 sur le théorème d'Euler, mais (chose à noter) la correspondance donnée 

 par le procédé général appliqué à ce cas ne sera nullement identique à la 



