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 To et Uo ou les côtés Uo et T,, on prendra n{z) = ± 2in/,{iio,u^, z), le 

 signe étant facile à déterminer dans chaque cas. 



» Les points z^, z,, Sj, Z3 sont pour la fonction des points singuliers 

 logarithmiques; dans le voisinage du point z^, par exemple, on peut mettre 

 la fonction sous la forme 



V{z-z„) + l{z-z„)[rf{z)-hn(z)], 



V[z — z^) étant holomorphe pour z = z^. 



» On peut déduire de ces formules des conséquences analogues à celles 

 qui ont été développées par M. Hermite dans le Mémoire déjà cité. Par 

 exemple, au moyen d'une fraction rationnelle J [/i -{- t -\- z), on peut 

 obtenir sous forme d'intégrale double tléfinie 1 expression analytique d'une 

 fonction qui représente successivement n fonctions distinctes à l'intérieur 

 de n bandes indéfinies séparées par des bandes de largeur y^/i/e^ et non par 

 de simples coupures. » 



analyse; mathématique. — Sur la fonction eulérienne. Noie de M. Bourgcet, 



présentée par M. Hermite. 



« M. Prym a représenté T[jc) par la somme de deux fonctions P(.r) et 

 Q(.r), dont la seconde est holomorphe, la première ayant pour expression 



P ( j: ) = '■ h — -î ^^ — • • H ■■ ^~'^ -, -i , 



^ ' x X -\- i •î 1 .f H- 2 ) 1 . ô . . . n [.X -{- ;i ) 



ou encore 



» Celte forme analytique, entièrement explicite, de la IranscendanteP(x) 

 conduit, par une voie facile, à reconnaître que l'équation P(a') = o a une 

 infinité de racines réelles. Soit, pour un moment. 



^ .(,■ H- I ) ./■ ( X -(- I ) . . . [ .r -H « — 1 ] 



I 



j> 



,-t~ a:[.v + i]...[.v-i- 



n — 1 ) |_x + « ( ,r -j- «)(./; -t- /i -i- i ) 



de sorte qu'on ail 



eP(a?) = S„+R„. 



» Je remarque d'abord qu'en limitant la valeur de x supposée réelle 



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