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par les conditions 



« — I •< — X <C_ii, 



In série — ; 1- -. ^, r + • • • est toujours positive, tandis que le 



.■K -h- Il [x + n)[.r -\- Il -\- \) •' ' ' T 



facteur x[.t + i) ..[x -+- n—\) est du signe de (— i)". I>e reste R„ est 

 donc négatif pour toute valeur impaire de«. Cela étant, fai>ons 



// = 9 ;« + I , 



on trouvera, par un calcul facile, que 



C ^m 



''" x{.v 4- r). . .[.V 4- i"i) 



le numérateur étant le polynôme suivant : 



X,„= {x+ ^2f{,T-^^i)[x + l^)...(.r + ■lm) 



-nk 



» Cette quantité est positive pour les valeurs de x satisfaisant à la con- 

 dition X + 2 ?n ■< o, les facteurs qui entrent au premier degré dans les 

 divers termes étant tous négatifs et en nombre pair. D'ailleurs, le dénomi- 

 nateur x{x -\- i).,.[x-\- 2m) est négatif, comme nous l'avons déjà dit; S„ 

 étant donc, comme R„, une quantité négative, nous voyons que dans l'inter- 

 valle considéré pour la variable, c'est-à-dire entre les deux pôles consé- 

 cutifs, X = — 2)71, X = — {2m + \), l'équation P(^) = o n'a aucune 

 racine réelle. J'ajoute qu'il en est de même entre x = — i et x = — 2, 



car alors Sj = -^ ^,5 quantité positive dans cet intervalle ainsi que Rj. 



Si l'on passe à l'uitervalle compris entre r = — 3 et x = — 4, on obtient 



s.= 



- 9.)-(.r+ 3) +■'■■+ 4 . 

 .rlx-h l)(.i- + a)(.r-H3')' 



or le numérateur de cette expression changeant de signe lorsqu'on fait va- 

 rier X de — 3 à — 4) on "^ peut prononcer sîirement ni sur la présence ni 

 sur l'absence de racines. Mais, au delà, nous allons établir qu'elles 

 existent d'une manière absolument contraire. Je remarque dans ce but que, 



P(— 3 — 5) — Q,23„.,,é|apt positif et moindrg que - = 0,34..,*, Mr.SO ''é- 



