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totale de ce milieu, un noinbie i3 millions fie fois jilus pelit que celui qui 

 a été trouvé par M. ra\e. » 



THÉORIE l)i',S iSOMBRl.S. — Elude des idenlllés qui se présenteul eiilre les réduites 

 ajijiarhnnul, nspecliveinent, aux deux modes de fraiiions enniiintfs jiério- 



difjUeS; |1;U" M. E. DE JoXQlMÈRES. 



« I. Les personnes qui cultivent l'Ànnlyse mathématique savent com- 

 bien il est rare, et en général <lifficile, de trouver des identités, prévues et 

 certaines, entre des termes ap|)artenant à deux séries infinies qui expri- 

 ment, l'une et l'autre, sous deux formes distinctes, la valeur d'une même 

 quantité. Il convient donc de recueillir celles qui se présentent entre les 

 réduites des deux modes de fractions continues périodiques. 



» Ces nouveaux résultats, auxquels, dans mes précédentes Communica- 

 tions, je n'ai guère fait que des allusions, relatives surtout au groupe (E,), 

 se résiunent ainsi qu'il suit. 



» II. Ce que j'appelle les di-ux nwdes de fractions conliiuies, c'est, d'une 

 part, les fractions continues ordinaires (jimniee mnde), et, d'antre part, 

 celles où les numérateurs différent de l'unité [deuxième mode). Je suppo- 

 serai toujours in et d, ou a et d, premiers entre eux, et je continuerai à 

 désigner par / le rang que le reste zéro occupe dans la série tles divisions 

 effectuées pour trouver le plus grand commun divisein" entre 2a et d, ce 

 rang étant, conmie je l'ai dii, rendu impair s'il ne l'est pas nalurellemenl. 

 Cela posé : 



» Thkorème XIX. — Vue fatiiil/e de nombres E:= an -+- du étant donnée. 

 In réduite qui occupe le rnnq i dans la série des réduites de la fraction continue 



du premier mode [suivant laquelle se développe \h) est toujours identique à celle 



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 qui, dans In série du deuxième mode, vient immédiatement après — ^ := — , point 



Vu ï 



de départ commun aux deux modes. /lucane autre coïncidence ne se présente 

 entre ces deux-là. 



» Ce théorème s'applique à tout nombre E, qu'il fasse ou non partie de 

 l'un des groupes (E^), pourvu (|ue la valeur de n, qui le détermine, satis- 

 fasse, comme j'en ai plusieurs fois fait la remarque, à la condition 



(2a- /,_, A/_, ) H- ( 0,_:,, + 1 ) /•,_, A,,., ( ' ) 

 "> '■ l ' 



f'^ Celle condition n'est autre que celle donnée dans ma Cnmmimic.ilion du i6avril i883 

 (etpriméo avec les notations que j'ai adoplécs le ■?.3 avril!, mais en v rectifiant une errenr 



