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 et la fonction h doit satisfaire aux deux équations 



, \ d- il d'il 



7 1"^ 4--p7 =o, 



' au- yi'j- 



(8) t^ = Ue'*^-U,e-^ 



^ ' lin ' ' 



où U et U, sont les fonctions doublement jjériodiques de seconde espèce 

 dont nous avons donné les expressions. L'équation (8) ne contient au fond 

 qu'une seule variable indépendante, et il est aisé de voir que, si l'on choisit 

 comme inconnue e*^, elle prend la forme de ces équations du premier 

 ordre auxquelles on donne le nom de Riccati, et que l'on sait intégrer dès 

 que l'on en connaît des solutions particulières. Or la marche que nous avons 

 suivie nous fait connaître de telles solutions, et les quatre valeurs de h, dé- 

 terminées par l'équation 



U^e=^+ aU'e*+ Es - 3U',e-*4- \]\e--''= o, 



que l'on obtient en égalant à zéro la valeur de ( -r- j donnée par la for- 

 mule (5), satisfont à l'équation (8). Il est donc possible de constituer, sans 

 aucune espèce de quadrature, l'intégrale générale de l'équation (8). On 

 détermine ensuite sans difficulté la valeur de la constante arbitraire en 

 fonction de «',, et l'on obtient pour l'expression définitive de h 



)\ (a — il 



« -4- ; i' I — 6) \ In — / t'i — w 

 



,6'l") 



^9) e"=-^ . f-^ : fe 



H 



» Il reste maintenant k chercher les expressions des coordonnées rectangu- 

 laires en fonction de u et de f,. Lorsqu'on connaît, comme cela a lieu ici, 

 les six éléments qui figurent dans les formules de M. Codazzi, on sait que 

 la surface est unique, mais la détermination de cette surface exige l'inté- 

 gration d'une équation de Riccati, intégration qui peut fort bien être im- 

 possible et arrêter toute recherche ultérieure. .T'ai réussi, dans le cas actuel, 

 à effectuer l'intégi'ation et à achever les calculs. On obtient le résultat sui- 

 vant. 



» Déterminons une courbe tracée sur la sphèi'e de rayon i ayant l'ori- 

 gine pour centre par les conditions suivantes. Appelons x, y, z les coor- 

 données d'un point de la courbe, que nous considérerons comme des fonc- 



