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 » Le seul cas où il n'en soit plus toujours ainsi ne peut donc èti'e que 

 celui où d! contient encore quelque facteur de 2a, ce qui prouve que ce 

 facteuryétait contenu dans d à une puissance au moins égale à 2. Soit 

 alors cl =^fd'\ d" pouvant encore contenir /", mais n'ayant plus aucun fac- 

 teur conunun avec 2a, ni avec n' . La fraction continue, simplifiée une 

 deuxième fois, prend alors définitivement la forme 



.v = a + - 



a -f 



r/" 



» Les réduites consécutives sont 



d' {/in -h d')n' + ad" 

 — , 



u'-'-hd" 



» Le numérateur de la deuxième an' -h d' est, par hypothèse, égal 

 kf[a'- + d"). Donc le facteur^ se retrouve, à la première puissance, dans 

 tous les numérateurs suivants, et la fraction convergente cessera d'être ir- 

 réductible (c'est le seul cas où cela puisse avoir lieu), chaque fois qu'un 

 dénominateur sera lui-même divisible par/. Or, si l'on pose 



rt'= i+ multiple Ae/{i <C/) 

 et 



d" = / H- multiple de/(y </j, 



les résidus (sauf réduction ultérieure plus complète) des dénominateurs 

 successifs sont 



(A) t, /, r+/, (r+2/)/, (i--hoj)i--\-j-, [i- -h 3j)(f + j)i, .... 



» La circonstance dont il s'agit se présentera donc seulement lorsque 

 ces fonctions de i et j seront égales à un multiple de/, et se renouvellera 

 périodiquement, à des rangs déterminés croissant en progression arithmé- 

 tique, mais sans répercussion sur celles des réduites suivantes qui n'occu- 

 pent pas ces rangs-là. 



» Exemple. — E = 3i85 = 8.7 -+-"]'■ On a successivement 



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v/Ë = 56-h ^2___ ^56 + ^— - =56 



112+ ,, 

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C. K., i88:i, 1" Semestre. [1 . XCVI, N" 18 ) 



