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 » 6. Un problème analogue se présente en Mécanique céleste lorsqu'on 

 étudie les variations séculaires des excentricités; seulement les fonctions (f^ 

 sont développées suivant les cosinus et les sinus des arcs [iiù. -{- Ji[i)t, 

 m et n étant des entiers et X et pi. des constantes données. On peut traiter 

 directement ce problème comme le précédent, ou plutôt le ramener au 

 précédent en supposant les moyens mouvements commensurabies, ce qu'on 

 peut faire avec une erreur aussi petite qu'on le vent. Les périodes des 

 variations séculaires dépendent alors des racines de l'équation détermi- 

 nante D définie plus haut, et sont développables suivant les puissances 

 croissantes de a, quel que soit le module de a. Lorsqu'on calcule ces 

 périodes comme on le fait d'ordinaire, c'est-à-dire en supprimant dans les 

 fonctions (p,7r tous les termes non séculaires, on ne trouve que le premier 

 terme de ces séries, le terme qui contient a à la première puissance. Le 

 terme suivant, qui est de l'ordre de a.-, est d'ailleurs très petit, à cause de 

 la petitesse de a. » 



AiSAi.YSE MATHÉMATiQui:. — Sur quelques inlécjmles doubles. 

 Note de M. E. Gocrsat, présentée par M. Hermite. 



« Dans une Lettre adressée à M. Mittag-Leffler, publiée par le Joiir/jo/ 

 de Borchordi, t. 91, M. Hermile a annoncé que l'élude des intégrales dou- 

 bles, telles que 



lit <ln-^ -■> 



1 (j [II. I. z, 



conduirait sans doute à des particularités intéressantes. M'étant proposé 

 cette étude, j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui à l'Académie les résul- 

 tats que j'ai obtenus. L'espace E défini par la condition G(m, <, z)=o, 

 (piand ou fait varier f et M entre les limites de l'intégration, n'est pas pour 

 la fonction $(2) un espace lacuncnre, au sens que l'on attribue à ce mot 

 depuis les travaux de M. Weierstrass. Considérons un point z en dehors de 

 cet espace et très voisin de la limite; si l'on développe ^{z) en série or- 

 donnée'suivant les puissances croissantes de z — Zq, le cercle de conver- 

 gence de cette série pénètre à l'intérieur de l'espace E. Prenons ensuite un 

 point z dans la partie commune ; on pourra, dans le voisinage de ce point, 

 développer la fonction suivant les puissances croissantes de z — z,, et le 

 cercle de convergence de celte nouvelle série atteindra de nouveaux points 

 de l'espace E. En continuant ainsi, on j)onrra atteindre tous les points de 



