cet espace, sauf certains points particuliers isolés. Toutefois cftte fonclion 

 présente des particularités qui ne sont pas sans analogie avec celles qui 

 ont été révélées par M. Hermile dans le cas d'une intégrale simple, quoique 

 d'une nature plus complexe. La méthode que j'ai employée n'est qu'une 

 extension de celle dont je m'étais déjà servi pour démontrer le théorème de 

 M. Hermite [Jeta malheinatica , p. 192). 



» Pour prendre le cas le plus simple, je considère d'abord les intégrales 

 de la forme suivante : 



' / / Gl", t. z 1 



où Y[ti, t, s) et G(if, ;, z) sont des fondions entières des variables u, t, z. 

 Je suppose que les intégrales sont prises suivant des lignes droites et que, 

 // et avariant entre les limites de l'intégration, le point qui correspond à 

 l'une des racines de l'équation G{u,t,z) = o vient coïncider une fois et 

 ime seule fois avec tons les points compris à l'intérieur d'un espace fermé 

 E. Je suppose en outre que l'on peut entourer l'espace E et les lignes droites 

 tôt,, Uoii, de contours suffisamment rapprochés Co, C,, C, pour que l'équa- 

 tion G{u, t, z) =: o, où l'on considère successivement chacune des quan- 

 tités u, t, z comme fonction des deux autres, définisse une fonction uni- 

 forme lorsque les variables indépendantes restent comprises à l'intérieur 

 des contours correspondants. Ces hypothèses étant admises, je remarque 

 que l'espace E peut être considéré comme une sorte de quadrilatère curvi- 

 ligne dont les côtés sont engendrés de la façon suivante. Si, dans l'équa- 

 tion G(/„, u, z) = o, on fait varier u de u^ ku,, z décrit un certain arc de 

 courbe T,, qui appartient évidemment à la limite de l'espace E. De même, 

 en faisant varier, dans l'équation G{t,, u, z) = o, u de «(, à m, , on engendre 

 un autre arc de courbe T, qui appartient aussi à la limile de E, et l'on 

 obtiendrait d'une façon analogue les deux autres côtés que j'appelle Do et 

 U, en faisant varier ^ de ^o à t, dans l'une des équations G(^, i/„, z) = o, 

 G{t, Ut, z) = o. Admettons qu'en parcourant le périmètre de ce quadrila- 

 tère, en laissant l'aire enveloppée à sa droite, on rencontre successivement 

 les côtés To, U|, T,, U^, et soient z„, z,, z^, z.^ les quatre sonimets;'z„, par 

 exemple, est l'intersection de T^ et de Uq. La fonclion représentée par l'in- 

 tégrale double k l'extérieur de E peut être continuée à l'intérieur de cet 

 espace, et elle ne présente, dans le contour Co, que quatre points singuliers, 

 qui sont précisément les sommets^,,, z,, z.-,, z^. 



» Lorsque le chemin suivi par la variable traverse le quadrilatère, la 



