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et, de même, 



u = (p{k', z, X, fi], 



Or, on vérifie sans peine que 



9(A-, «, a, |5) = o5(U', s, «, p) = y(A-', ;■, a. |3); 



les symboles des opérations o{k, z, a, fi) et o[k', z, a, fi) sont éclinngoables, 

 et par suite l'équation Q.' est abélienne." 



» D'ailleurs, il faut évidemment que les substitutions 



S = \z o{l,; z-, rx, /3)| 



soient d'ordre fini; comme, pour un entier X quelconque, i^ = ©(/:'', z, tx, ^), 

 les X- doivent être des racines de l'unilé. 



» Théorème II. — Toutes les racines m de Q. sont fondions rationnelles de 

 deux qtielconques d'entre elles; si donc le degré m de Q. est premier, est une 

 équation de Galois. 



» Soient, en effet, s, a, ^ trois racines quelconques de fi; adjoignons 

 a Q. a et P; soit Q." le facteur irréductible dont z est racine: p. le degré 

 de Q." ; si p. = i, le théorème est démontré; si p. > i , la subslilntion 



s==:\z (p{/c, z,(/., fi)\ 



est d'ordre fini et k est une racine de l'unité. Cela posé, au lieu d'adjoindre 

 a et |3, adjoignons z et fi; soit ù'" le facteur irréductible dont a est racine, 

 et V le degré de ù'". Si v > i, la substitution 



t = \a (s{k, z, a, ^)\, 



c'est-à-dire, comme on le voit aisément, 



t=\ry. 9(i-y:-, 5,,s,/3)|, ■ 



doit être d'ordre fini, et i — A est racine de l'unité. Par suite, s cl t ne 

 pouvant être simultanément d'ordre fini, v -- i et le théorème est dé- 

 montré. 



>) Dans le cas où P = o, ce qui réduit l'équation (t) à une équation li- 

 néaire, l'équation algébrique 0, définie comme plus haut, jouit des pro- 

 priétés suivantes : 



» 1° Toutes les m racines de Ù sont fonctions rationnelles il'une quelronn^ue 

 d'entre elles. 



