( l420 ) 



THÉORIK DES NOMBRES. — Lois des coincicleiices entre les réditiles des j raclions 

 périodiques des deux modes. (Suite.) Note de M. E. de Jonquières. 



(( V. Pour plus de brièveté et de clarté dans ce qu'il me reste à dire sur 

 les identités des réduites dont il s'agit, il est nécessaire de donner simulta- 

 nément des détails plus complets et pins précis sur les groupes (Ej), où 

 elles se rencontrent en obéissant à des lois de symétrie fort curieuses. Pour 

 cela je m'aiderai d'un exemple, afin de faire mieux comprendre l'esprit des 

 propositions générales, dont je donnerai d'ailleurs l'expression au fur et à 

 mesure de l'application qui en sera ainsi faite naturellement. 



Soit E=Zi/i-<-5«. Ea recherche du plus grand commun diviseur entre 

 2a = 8 et f/=; 5 amené les quatre quotients i, i, i , 2, le reste zéro arrivant 

 en même temps que ce dernier. Mais comme ce reste nul se présente ainsi 

 à un rang pair, on écriia i, i, i, i, i, afin de le rejeter au cinquième rang, 

 selon la règle posée au théorème XVI. De la sorte, les quotients i , i , r , i , i 

 sont les cinq premiers termes de la période ascendante comnuiue à tout 

 nombre E, pourvu que la valeur de ii qui le détermine satisfasse à la con- 

 ... 3.« — /'vAs -4- (S, + O/^Aj . , . . ■ , 



dition n^ T 1 qui devient ici « > 12, en donnant les 



valeurs convenables aux diverses quantités qui entrent dans la formule 

 d'inégalité. 



» VI. Cela posé, si l'on développe yE en fraction continue, d'après la 

 règle dont le théorème XVIII a fait connaître le sens intime et formulé 



l'expression générale pour une famille quelconque E = au ■+- dn, on trouve 

 successivement 



I-h(«-^6) i_(4„_,5) 



Xr. = . . , = 



0C,= 



■3/1 — g •)« 



- Ç) I H- ( 4 " — 1 5 ) 



■(4« 



C'est, comme je l'ai dit, à celle phase de l'opération que cesse, pour la 

 branche ascendante de la période, la communauté des termes entre tous 

 les nombres E et que, pour me servir d'iim' image, les groupes régu- 

 liers (Ej), pareils à autant de rameaux repliés en feston sur eux-mêmes, 

 prennent naissance sur ce tronc conimun. F.e nombre de ces groupes est d, 

 donc ici 5, parce que le terme de la période, ou quotient incomplet, qui 

 va apparaître, devant être un nombre entier, et les autres exigences de 



