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est identique à celui de l'expression correspondanle de x-, ce qui est la 

 conséquence du choix qui a été fait pour le quotient q^. 



» VII. La période du groupe ( E,), ainsi obtenue, est donc la plus courte 

 de toutes celles de la famille (E), soit qu'il s'agisse des groupes (E^), soit 

 qu'on ait affaire à un nombre E isolé, et elle se compose invariablement 

 de 2/-f-2 termes, nombre pairement pair, et ici égal à 12. Les coïncidences 

 des réduites des deux modes y suivent cette loi fort simple : 



» Théorème XX. — Dans le groupe (E,) de loiile famille (E), les coïnci- 

 dences entre les réduites des deux modes se présentent au rang i de la première 

 période (ainsi qu'il a été dit au théorème XIX), et ensuite aux rangs 21, 

 2/-f- I, 2/ + 2 (jin terminent la période,- elles sont donc au nombre de quatre. 



» La même disposition se reproduit dans toutes les périodes suivantes. Enfin 

 toutes les réduites du deuxième mode, sans exception, font partie de celles du 

 premier mode. 



» Donc chaque période de réduites du premier mode se compose de deux pé- 

 riodes consécutives du deuxième mode, complétées par des réduites intercalaires. 



)) IX. Celui des groupes (Ej) qui se présente le plus naturellement après 

 (E, ) et dont la période est la plus courte après la sienne, grou()e qui 

 mérite par ce double motif la désignation spéciale (E,), s'obtient en faisant 

 en sorte que le terme central g^ apparaisse au rangi+ 2, ce qui donne 

 2/ + 4 termes à la période, nombre toujours double d'un impair. Il suffit 



pour cela de donner à /'la valeur/!, qui satisfait à la condition /^ = ^• 



Dans l'exemple choisi i'.^ = i . En général, on a /,' = 2/.,, ce qui ressort du 

 mode de formation de ces deux nombres. 



» Théorème XXI. — Dans le groupe (Ej) de toute famille (E), six coïnci- 

 dences se piésentent, dans toutes les périodes consécutives, aux rangs i,i + i, 

 / + 2 *, 2/ + 2, 2/ + 3, 2? 4- 4, formant ainsi deux groupes ternaires, séparés 

 par l'intervalle i. 



» TouCes les réduites du deuxième mode sont employées ; donc chaque pé- 

 riode de réduites du premier mode se compose de tiois périodes consécutives du 

 deuxième mode, complétées par des réduites intercalaires. 



» Cette disposition des coïncidences qui apparaissent soit isolées, soit 

 groupées par trois, est générale, comme nous le verrons, et la raison en 

 sera donnée. » 



