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THÉoniE DES NOMBRES. — Sur une généralisntion du théorème deFeimat. 



Note de M. S. Kantok. 



« Le n" 16 des Comptes rendus, qui me tombe sous les yeux aujourd'hui, 

 renferme une Note intéressante de M. Picquet sur la généralisation du 

 théorème de Fermât. M. Picquet parle de la fonction arithmétique 

 curieuse 



x" — y a; '-h y X''' - \ jr"' I-. . ±: a?"''"'--', 



où X et n sont des nombres entiers. A plusieurs reprises, dans mes re- 

 cherches sur les transformations géométriques, j'ai entrevu cette expres- 

 sion provenant chaque fois d'une expression de la forme 



(.) i/Z/ + «Z. -?(«). 



où les /sont les facteurs de 7i {Ann. dlMalh., X; Bull, de la Soc. Malli. de 

 France, 1880; Comptes rendus, 17 mai 1880, etc.). Les raisonnements de 

 M. Picquet établissent un théorème qui généralise le théorème de Fermai ; 

 mais, à la p;ige 71 du t. X des Annali, j'ai énoncé et démontré, par une re- 

 cherche géométrique sur les groupes cycliques d'une transformation de 

 Cremona, le théorème suivant ('), identique à celui de M. Picquet : 



le nombreS V (- i)~'a'''''v ''^, oùK = f"" /■"' • ■ • /'"' e' ^1, r.„ . 



V-1 



peut devenir chaque complexion de lettres différentes parmi 1, 2, . . ., v, est tou- 

 jours divisible par N. 



» Du reste, l'équation (i) apparaît dans maintes occasions où à un pro- 

 blème de clôture (Schliessungsproblem) la formule de correspondance de 

 M. Biill s'applique, et ce qui, dans tous ces cas, me semble seul digne 

 d'être signalé, c'est la démonstration pour la forme de Z„, dont j'ai donné 

 une algébrique [loc. cit.). Permettez-moi encore de faire observer qu'ainsi 

 l'assertion de M. Sylvester : « Cette intervention de la Géométrie dans la 

 » théorie des nombres est sans précédent d.ins l'histoire des M.ithé.iia- 

 » tiques », ne se vérifie pas absolument. » 



(') îlon travail est daté de février 1880. 



