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 tique binaire 



où X e[ j" sont deux indéterminées complexes, dont Xf, et^„ représentent 

 les conjuguées; les coefficients extrêmes a et c sont réels, et b^ est conju- 

 gué de b. Supposons que ces coefficients soient entiers, et que la forme 

 soit indéfinie, c'est-à-dire que l'expression 



D = bba — cic, 



qui joue ici le rôie d'invariant, soit positive. 11 existe alors un nombre infini 

 de substitutions à coefficients entiers, et de déterminant égal à l'unité, 



Y = M2.ÎC + P,j, 



transform;int en elle-même la forme F. Considére-t-on maintenant les substi- 

 tutions effectuées sur la variable z 





elles formeront lui groupe discontinu, pour toute valeur de z ne vérifiant 



pas l'équation 



azZf, + bz + b„ ;„ + c = o, 



c'est-à-dire pour tout point du plan de la variable z n'appartenant pas au 

 cercle représenté parla relation précédente. On doit faire entre ces groupes 

 une première distinction : ils peuvent contenir ou non des substitutions 

 paraboliques. La condition nécessaire et suffisante pour que le premier cas 

 se présente est, comme on le démontre aisément, que la forme F puisse 

 représenter zéro, d'où l'on conclut que D sera la somme de deux carrés; 

 nous nous occupons uniquement dans ce qui suit du cas où le groupe ne 

 renferme pas de substitutions paraboliques. La question se pose ensuite 

 de savoir si toutes les substitutions de ce groupe peuvent être obtenues à 

 l'aide d'un nombre fini de substitutions fondamentales et, s'il en est ainsi, 

 de trouver effectivement de telles substitutions. 



)) On traitera les problèmes précédents en faisant l'étude arithmétique 

 des formes indéfinies F; c'est ce que nous allons faire en étendant aux formes 

 à indéterminées conjuguées les méthodes données par M. Hermite dans ses 

 Mémoires classiques siu- les formes quadratiques [Journal de Crelle, t. 47). 



