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 La forme F peut s'écrire 



F = MMo— ('('„, 



où u et V sont deux fonctions linéaires de x et j". 



» Soit 



U^Aii + Bt», Y = Cu + Dv 



la transformation linéaire la plus générale de déterminant un et à coeffi- 

 cients quelconques, telle que l'on ait 



UU„ — VVo = iiu„ — (%. 



» J'envisage la forme définie UUo-f-VVo, que nous désignerons par 

 <^[x, jr, a7(,, /o) et qui peut s'écrire 



<I>(x,;-,a;„,;-„) = iai„— w„ + 2(C« -f- Dt>)(C„«„ + Do«'o), 



et l'on doit supposer que u et i> ont été remplacés par leur valeur en x et 

 J-. Cette forme définie renferme trois paramètres arbitraires, car il est facile 

 de voir qu'on a entre C et D la seule relation 



Dn„ - CC„ =: I . 



M Effectuons la réduction continuelle de la forme définie $ quand on 

 donne aux paramètres arbitraires toutes les valeurs possibles. Je rappellerai 

 que, d'après M. Hermite, la forme définie 



est réduite si d, est moindre que © et si, posant \Si, =z m + ni, on a, abstrac- 

 tion faite des signes, 



» Imaginons donc qu'on calcule toutes les substitutions propres à ré- 

 duire la forme $ pour toutes les valeurs des paramètres, et qu'on fasse 

 chacune de ces substitutions dans F; le nombre de ces transformées /" sera 

 fini, et leurs coefficients auront des limites déterminées par l'invariant D : 

 les transformées/" peuvent être dites les réduites de la forme indéfinie F. 



» Cette question, à laquelle nous nous trouvons amené, de la réduction 

 continuelle d'une forme quadratique renfermant plusieurs paramètres, a été 

 traitée d'une manière approfondie par M. Seiling dans son beau Mémoire 

 sur les formes ternaires indéfinies et aussi par M. Charve dans sa Thèse. On 

 sait que, suivant les diverses circonstances de la variation des paramètres, 



